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PRINCETON LECTURES
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axialen
Vektoren,
deren
Komponenten
sich beim
Übergang
von
einem
Rechtssystem zu
einem
Linkssystem
anders transformieren als die Axv.
Die
Auffassung
der
antisymmetrischen
Tensoren zweiten
Ranges
als
Vektoren im Raume
von
drei Dimensionen
hat
den Vorteil einer
gewissen
Anschaulichkeit;
aber sie wird
der
eigentlichen
Natur
der betreffenden
Größen
nicht
so
unmittelbar
gerecht
als die
Tensorauffassung.
Wir betrachten zweitens die
Bewegungsgleichungen
kontinuierlich
verbreiteter
Massen.
Q
sei
die Dichte,
uv
die Geschwindigkeitskompo-
nenten als
Funktion
der Koordinaten
und der
Zeit,
ferner
Xv
die Volum-
kraft
bezogen
auf die
Masseneinheit, pva
die
Flächenkraft
auf eine
Fläche senkrecht
zur
d-Achse
in
der
Richtung
der
wachsenden
xv.
Dann
sind die
Bewegungsgleichungen
nach
Newtons
Gesetz
dpvo
'dxa
+
QXV,
wobei
duv/dt
die
Beschleunigung
eines Teilchens ist, das
zur
Zeit
t
die
Koordinaten
xv
besitzt. Druckt
man
diese
Beschleunigung
durch par-
tielle Differentialquotienten aus,
so
erhält
man
nach Division mit
q
dUv
,
duv
dt
+
dxo
-
}_
dpvt
o
Q
dxg
+ xv
........
(16)
Es ist
zu
zeigen,
daß diese
Gleichung
eine
Bedeutung
hat, die un-
abhängig ist
von
der
speziellen
Wähl
des
kartesischen
Koordinaten-
systems.
(uv)
ist ein
Vektor,
also auch
duv/dt.
duv/dxo
ist
ein
Tensor
zweiten
Ranges,
duv/dxv
ur
ein
Tensor
dritten
Ranges;
durch
Verjüngung
nach
den Indizes
6, r
entsteht
das zweite
Glied
der linken Seite. Das
zweite
Glied der rechten Seite
hat unmittelbar
Vektorcharakter. Damit
auch das erste Glied
der rechten Seite
Vektorcharakter
habe,
muß
pva
ein Tensor
sein;
dann
entsteht
dpvq/dxa
durch
Erweiterung
und
Verjüngung,
hat also
Vektorcharakter,
auch nach
Multiplikation
mit dem
reziproken
Skalar
1/Q.
Daß
pvo Tensorcharakter
besitzt,
sich also
gemäß
den
Glei-
chungen
P'uv
=
bua
bvß
PuB
transformiert, wird in
der
Mechanik durch
Integration jener
Gleichungen
über
ein unendlich kleines
Tetraeder
bewiesen. Dort wird auch durch
Anwendung
des Momentensatzes auf ein unendlich kleines
Parallelepiped
bewiesen,
daß
pva
=
p0v
ist,
daß also der Tensor der
Flächenkräfte
ein
symmetrischer
Tensor
ist. Aus dem
Gesagten geht hervor,
daß
man
mit