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DOC. 71
PRINCETON LECTURES
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Setzt
man
die rechte statt der
linken Seite in
obiges
Integral
ein
und setzt
den
Faktor
vor
dx1/dT
das
Integralzeichen, so
erhält
man
d
/
mdxi\
d (
mqx
\
dl
\
dt
)
dl
lyi
_
q)
Man
sieht
hieraus,
daß die
verallgemeinerte
Setzung
des
Energietensors
mit
unseren
früheren
Resultaten im
Einklang
ist.
Eulersche
Gleichungen
für die ideale
Flüssigkeit. Um
dem
Verhalten wirklicher
Materie
näher
zu
kommen, müssen
wir dem
Energietensor
ein Glied
beifügen,
das den
Flächenkräften
entspricht.
Der einfachste
Fall
ist
der einer
reibungslosen
Flüssigkeit,
in
welchem
die
Flächenkräfte
durch einen
Skalar
p
bestimmt sind. Die
tangentialen
Flächenkräfte
pxy usw.
verschwinden in diesem
Falle,
so
daß der Bei-
trag
zum
Energietensor
von
der
Form
p&ßV
sein muß. Wir
haben also
zu
setzen:
_
_ ,
"
-
Ö
Up Uv
p
Öß
v ••.**«).
i,«
(51)
Die Ruhedichte der Materie
bzw.
der
Energie
hat
in diesem
Falle nicht
d,
sondern d
-
p.
Denn
es
ist
im
Fall
der Ruhe
m
dx.
dxt
s
-T"
=
öd7
-dï-*8"
=
°-r-
Bei
Abwesenheit
von
Volumkräften ist
~_~v__
~U,A
~(~1u~,)
~p
-~- u
Ox,,
-
ax,,
f
0.
Multipliziert man
diese
Gleichung
mit
uu(=
dxu/dx)
und
addiert
über
u,
so
erhält
man
mit
Rücksicht auf
(40):
-d(duv)/dxv+dp/dt=0
(52)
wobei
dp/dxu dxu/dT
=
dp/dT
gesetzt ist.
Dies
ist die Kontinuitatsgleichung,
welche
von derjenigen der klassischen Mechanik um
das
(praktisch
ver-
schwindend kleine)
Glied
dp/dt
abweicht.
Mit
Rucksicht
aut
(52) nehmen
die
Erhaltungsgleichungen
die
Form an:
du.
dt
(53)
Die
Gleichungen
für
die ersten drei
Indizes
entsprechen
offenbar den
Eulerschen
Gleichungen.
Daß die
Gleichungen
(52)
und
(53)
in
erster
Näherung
den
hydrodynamischen Gleichungen
der klassischen Mechanik
entsprechen,
ist ein weiteres
Argument
dafür, daß die
allgemeine
Formulierung
des
Energiesatzes
das
Richtige
trifft.
Massen-bzw.
Energie-
dichte haben Tensorcharakter
(und
zwar
den eines
symmetrischen
Tensors).
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