DOC.
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PRINCETON
LECTURES 553
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54
-
aus
(95)
nicht
die Existenz einer
Integralgleichung
von
der
Form
der
Gleichung (49)
geschlossen
werden kann. Das Gravitationsfeld
über-
trägt
Energie
und
Impuls auf
die
"Materie",
indem
es
auf
diese
Kräfte
ausübt und
Energie
überträgt,
was
durch
das zweite Glied in
(95)
aus-
gedrückt
wird.
Wenn
es
ein
Analogon
der
Poissonschen
Gleichung
in der all-
gemeinen
Relativitätstheorie
gibt,
so
muß dies eine
Tensorgleichung
für
den
Tensor
gMV
des
Gravitationspotentials sein,
auf deren
rechter Seite
der
Energietensor
der
Materie
figuriert.
Auf der
linken
Seite der
Gleichung
muß ein
Differentialtensor
aus
den
guv stehen. Diesen
Differentialtensor
gilt
es zu
finden.
Er ist
völlig
bestimmt
durch
folgende
drei
Bedingungen:
1.
Er
soll keine
höheren
als zweite Differentialquotienten
der
guv
enthalten.
2.
Er
soll
in
diesen zweiten
Differentialquotienten linear
sein.
3.
Seine
Divergenz
soll
identisch verschwinden.
Die ersten beiden dieser
Bedingungen
sind natürlich
der Poisson-
schen
Gleichung entnommen.
Da sich mathematisch
erweisen läßt, daß
alle
derartigen
Differentialtensoren
algebraisch
(d.
h. ohne
Differentiation)
aus
dem
Riemannschen sich bilden
lassen,
so
muß
jener
Tensor
von
der
Form
sein
RjtiV
"1" &Ç/AV
wobei
Ruv
und R durch
(88)
bzw.
(89) definiert sind. Es läßt sich
ferner
beweisen,
daß die dritte
Bedingung verlangt,
daß
a
den
Wert
-
1/2
erhält.
So
ergibt sich als
Feldgesetz
der
Gravitation
die
Gleichung
R/xv
^!J/avR
-
..........(96)
welche
Gleichung
die
Gleichung (95)
zur
Folge
hat. Hierbei
bedeutet
x
eine
Konstante,
welche mit
der Gravitationskonstante
der Newtonschen
Theorie zusammenhängt.
Ich
will im
folgenden
die
physikalisch
interessanten
Gesichtspunkte
der Theorie
aufzeigen, unter
Verwendung
eines
Minimums
subtilerer
mathematischer
Methoden.
Zuerst
muß
gezeigt werden,
daß
die
Diver-
genz
der
linken Seite wirklich
verschwindet. Der
Energiesatz
der
Materie lautet
gemäß
(83)
0
=
dxa -
rZtX»
............(97)
wobei
%%
=
Totg™^rg_
bedeutet. Die
analoge Operation
soll
-
auf die
linke
Seite
von
(96)
angewendet
-
zu
einer
Identität führen.
In der
Umgebung eines jeden
Weltpunktes gibt
es
Koordinaten-
systeme,
für welche
(bei
imaginärer
Wahl der
x^-Koordinate)
in
dem
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