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PRINCETON LECTURES
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die Materie nicht kontinuierlich
verteilt,
sondern in einzelnen Himmels-
körpern
und
Systemen
von
solchen kondensiert ist. Wenn wir
von
diesen
mehr lokalen
Ungleichmäßigkeiten
der Materiendichte und des
guv-
Feldes absehen
wollen,
um
etwas über die
geometrische
Beschaffenheit
der Welt im Großen
zu
erfahren,
so
erscheint
es
natürlich,
an
die Stelle
der wirklichen Massenverteilung eine
kontinuierliche, und
zwar
eine
solche mit
konstanter
Dichte
o
zu
setzen. In dieser
fingierten
Welt
werden alle
Punkte
mit räumlichen
Richtungen geometrisch
gleichwertig
sein;
sie wird also in ihren räumlichen
Ausdehnungen von
konstantem
Krümmungsmaße
und
bezüglich
der
x4-Koordinate zylindrisch
sein. Be-
sonders
befriedigend
erscheint die
Möglichkeit;
daß die Welt
räumlich
geschlossen,
also
(gemäß
unserer
Annahme
von
der Konstanz
von
o)
von
konstanter
Krümmung,
und
zwar
sphärisch
oder
elliptisch
sei,
weil
dann die
vom
Standpunkte
der
allgemeinen
Relativitätstheorie
so un-
bequemen Grenzbedingungen
für das Unendliche
durch die viel natür-
lichere
Geschlossenheitsbedingung
zu
ersetzen
wäre.
Nach dem
Gesagten
haben wir
anzusetzen
ds*
=
dx«-y^vdx^dxv..........(119)
wobei die
Indizes
u
und
v
nur von
1
bis
3
laufen.
Die
Yuv
wären
solche
Funktionen
von
x1, x2,
x3,
wie
es
einem dreidimensionalen
Konti-
nuum von
konstanter
positiver Krümmung entspricht.
Wir
werden
zu
untersuchen
haben,
ob
ein solcher Ansatz den
Feldgleichungen
der Gravi-
tation
Genüge
leisten
kann.
Um
dies untersuchen
zu
können,
müssen wir eine elementare
Zwischenbetrachtung
über die
Differentialbedingung einschalten,
welcher
die dreidimensionalen
Mannigfaltigkeiten
konstanten
Krümmungsmaßes
genügen.
Eine
sphärische Mannigfaltigkeit
von
drei
Dimensionen,
ein-
gebettet
in ein euklidisches Kontinuum
1)
von
vier
Dimensionen,
ist
ge-
geben
durch die
Gleichungen
Xi
4- x}
-|-
Xj*
-f-
x*a
=
as
dxi
4-
dx?
4~
dx¡
4-
dx?
=
dsa.
Durch Elimination
von
x4
erhält
man
ds
=
dx? -f dx?
+
dx?
+
&** +
***•
+
*•**£.
a»
-
x*
-
Xj
-
x8
Bis auf
Glieder in den
xv
vom
dritten
und höheren Grade kann
man
also für die
Umgebung
des
Koordinatenursprungs
setzen
ds*
=
dxpdxy.
Die
Klammergröße
stellt
die guv der
Mannigfaltigkeit
in der
Um-
gebung
des
Nullpunktes
dar. Da
die ersten
Ableitungen
der
guv
im
1)
Die
Zuhilfenahme
einer
vierten
räumlichen Dimension
hat natürlich
nur
die
Bedeutung
eines
rechnerischen
Kunstgriffes.
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