DOCUMENT
313 MARCH
1917 415
Mann
kann
(1)
auch
so
interpretieren
dass die
vierdimensionale Welt
endlich
ist,
mit Radius
gegeben
durch
X
= 3/R2.
Die
Analogie
mit
Ihre
Lösung
geht
hervor
aus
folgendem
Vergleich:[6]
Dreidimensional
Mit
übernatürlichen
Massen.
X
=
1/R2
R2
Vierdimensional
Ohne
jede
Masse.
X
=
R2
Coördinaten-system
I.
x1, x2, x3,
ct
:
x\
+
x\
+
x%
R2
g44
=
1 gi4
=
0
guV
_
suv~R2-(xf+x2
+
x
2)
[,
x2, x3, x4 =
ict':x\
+ x\
+
x\
+
x\
R2
"
_
s
-Vv
V V
/?2_(jC2 +
^2
+
JC2
+
JC2)
u
und
v
=
1,
2,
3,
4.
Coordinatensystem
II
(Hyperspherische Coordinaten)
ds2
=
c2dt2
-
R2[d%2
2 2
+
sin
%{dMf2
+
sin
\ydû2)
]
-°°t+°°
0û2n 0x,
\)i7i
ds2
=
-R2[d(02
+
sin2co{d%2
+ sin2x(di|/2 +
sin2\|/di32)}
]
0
2jt
0
to, x,
\(/
n
Coordinatensystem
III
(Cartesisch)
entsteht aus
II
durch eine
"Stereographische Projection"[7]
ds2
=
c2dt2-
dx2
+
dy2 +
dz2
+y2+z2)
Im
Unendlichen:
guv
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
Invariant
gegen
alle
Transform. mit
t'
=
t
_
-dx2-dy2-dz2
+
c2dt2
ds
~
-
1
-,2
1
+
--(x2
+
y2
+
z2-
c2t2)
Im
Unendlichen:
guv
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Invariant
gegen
alle
Transform.
G44 =
0
Gii =
jpgu
i
=
1,2,3
Gu =
i
=
1,2,3,4
Um die
Bedingungen
zwischen
X
und
R2
zu
finden habe ich die
Feldgleichungen
Gij-xgij=-k(Tij-1/2gijT)
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