270 DOC. 170 ON OVERDETERMINATION EINSTEIN : Bietet die Feldtheorie Möglichkeiten für die Lösung des Quantenproblems? 361 die Zahl der unabhängigen Gleichungen nur größer sein als die um 4 ver- minderte Zahl der Feldvariabein, da gemäß dieser wegen der freien Wahl der Koordinaten die Feldvariabeln durch die Gleichungen nur bis auf 4 von ihnen bestimmt sind.) Die RIEMANNsche Geometrie zeigt uns ein schönes Beispiel von Überbestimmung, welches auch in sachlicher Beziehung zu unserem Problem zu stehen scheint. Verlangt man, daß alle Komponenten Rik, im des RiEMANNSchen Krümmungstensors verschwinden, so ist die Mannigfaltigkeit euklidisch, also vollkommen bestimmt und verträgt überhaupt keine » Anfangsbedingungen«. Im Kontinuum von 4 Dimensionen handelt es sich dabei um 20 algebraisch voneinander unabhängige Gleichungen, welchen die 10 Koeffizienten gu der quadratischen metrischen Form genügen. Analog versuchen wir das Geschehen im elektromagnetischen und Gravi- tationsfelde durch Gleichungen überzubestimmen, wobei die Möglichkeit durch folgende Bedingungen eingeschränkt werden: 1. Die Gleichungen müssen allgemein kovariant sein, und es sollen in denselben nur die Komponenten gut des metrischen Feldes und # des elektrischen Feldes auftreten. 2. Das gesuchte Gleichungssystem muß jedenfalls dasjenige enthalten, welchem gemäß der Gravitationstheorie und MAXWELLSchen Theorie Genüge geleistet wird, nämlich das Gleichungssystem Ri1 = - x 2#| ^fl = tyia + -5V| paß 4 [10] wobei Rft den Krümmungstensor vom zweiten Range bedeutet. 3. Das gesuchte Gleichungssystem, welches das Feld überbestimmt, muß jedenfalls jene statische, kugelsymmetrische Lösung zulassen, welche gemäß obigen Gleichungen das positive bzw. negative Elektron be- [11] schreibt. Wenn es gelingt, das Gesamtfeld unter Erfüllung dieser drei Bedingungen durch Differentialgleichungen hinreichend überzubestimmen, so dürfen wir hoffen, daß durch diese Gleichungen auch das mechanische Verhalten der singulären [12] Punkte (Elektronen) mitbestimmt wird, derart, daß auch die Anfangszustände des Feldes und der singulären Punkte einschränkenden Bedingungen unter- worfen sind. Wenn es überhaupt möglich ist, durch Differentialgleichungen das Quanten- problem zu lösen, so dürfen wir hoffen, auf diesem Wege zum Ziele zu kommen. Im folgenden will ich darlegen, was ich bis jetzt in dieser Richtung versucht habe, ohne behaupten zu können, daß die von mir aufgestellten Gleichungen wirklich physikalische Bedeutung besitzen. Meine Ausführungen haben ihren Zweck schon dann erreicht, wenn sie Mathematiker zur Mitarbeit veranlaßt und sie überzeugt, daß der hier eingeschlagene Weg verfolgbar ist und unbe- dingt zu Ende gedacht werden muß. Wie stets in der allgemeinen Relativitäts- theorie ist es auch in diesem Falle schwierig, aus den Gleichungen Aufschlüsse über ihre Lösungen zu erhalten, die mit den gesicherten Ergebnissen der Er- fahrung, hier speziell der Quantentheorie, verglichen werden können.
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