D O C . 17 G R A V I T A T I O N A N D E L E C T R I C I T Y 61 E i n s t e i n : Einheitliche Feldtheorie von Gravitation und Elektrizität 416 in Verbindung mit (7). Durch Herunterziehen der oberen Indizes erhält man mit Rücksicht auf die Beziehungen 9. ft»“ = 9» y ~ 9. (10a) wobei gμν einen kovarianten Tensor bedeutet _ — 5-— + 9*^^« + g„.rz, + 9*,$«+ gua t , = ° 0 wobei Φτ ein kovarianter Vektor ist. Dies System in Verbindung mit den beiden oben angegebenen 9 g’* 9 g“’ und 9 a „ 3 r, 0JT„ =1 o Jlr« Op o = Ä.. = - - ^ + r sr * - t 01 9 it„ , r® (7) (4) sind das Ergebnis des Variationsverfahrens in der einfachsten Form. Auf- fallend an diesem Ergebnis ist das Auftreten eines Vektors Φτ neben dem Tensor (gμν) und den Größen Γ r*„. Um Übereinstimmung mit den bisher be- kannten Gesetzen der Gravitation und Elektrizität zu erhalten, wobei der sym- metrische Bestandteil der gμν als metrischer Tensor, der antisymmetrische als elektromagnetisches Feld aufzufassen ist, muß man das Verschwinden von Φτ voraussetzen, was wir im folgenden tun werden. Man wird jedoch für spätere Untersuchungen (z. B. Problem des Elektrons) im Sinne behalten müssen, daß das HAMILTONsche Prinzip für das Verschwinden der Φτ keinen Anhalts- punkt liefert. Dies Nullsetzen der Φτ führt zu einer Überbestimmung des Feldes, indem wir für 16 + 64 Variable 16 + 64 + 4 voneinander algebraisch unabhängige Differentialgleichungen haben. § 2. Das rein e G ra v ita tio n sfe ld als S p ezia lfa ll. Die gμν seien symmetrisch. Die Gleichungen (7) sind identisch erfüllt. Durch Vertauschen von μ und ν in (10 a) und Subtrahieren erhält man dann in leichtverständlicher Schreibweise • r _p __p __.. ’ 1M,a» Li*,va 1 r.ati * (11) Nennt man Δ den in den beiden letzten Indizes antisymmetrischen Bestand- teil der Γ , so nimmt (11) die Form an oder A = A . (11a) Diese Symmetrieeigenschaft in den beiden ersten Indizes ist aber mit der Anti- symmetrie in den beiden letzten unvereinbar, wie folgende Serie von Glei- chungen lehrt w e r * [5] [6] [7] [8]