DOC. 158 ON R I E M A N N C U R V A T U R E T E N S O R 289 102 A. Einstein. analog für die Tensoren Sik, lm und Ajk, lm. Multiplizieren wir (4) mit f ikf lm, so erhält man auf Grund von (11): ( 12 ) Rik,lm = Rik,lm+ A ik,lm , während die Beziehungen (5b) auf Grund von (9) und (11) die Form an- nehmen J $ik.lm = &ik, lm l — Aitern . Aus (4), (12) und (13) ergibt sich (13) (14) $ik,lm — (Rik.lm "I- Rik,lm) , A n n i t a — 2 ( R i k . l m R i k , l m ) . Für die weitere Rechnung ist es bequem, ein lokales Koordinaten- system zu gebrauchen, für welches gμν = δμν( δμμ = 1 , δμν = 0, wenn μ ≠ v). Dann erhält man an Stelle von (8) einfacher (8a) Δ Ailk — δikαβ. In diesem System gilt gemäß (11 ) und (14) und (7) ■ßl2,34 — -ß is, 34 = Ä 12.34 — -^34,12 = 0 , ■ßl2.2S — -ßj2, 23 = 7?io. 23 — -^84,14 = R\2,28 + -^14,48 = -ffl3 — G 13, 7^12.21 — Ä ii , 21 = R\2, 51 — R'M,43 = R ll "l- R ii — 2 R ~ G ll -f" G 22 usw. Die übrigen Komponenten von Siktm erhält man hieraus durch Vertauschung der Indizes. Man verifiziert nun Gleichung (6) für die hingeschriebenen Komponenten und das gewählte lokale Koordinatensystem sie ist also auch allgemein gültig. Aus ( 6) kann man leicht schließen, daß die Bedingungen und Gim= 0 = Rim .- 1/4gimR T 9imR gleichwertig sind. Das Gesetz des reinen Gravitationsfeldes im Sinne der Gleichungen (2a) wird also durch die Bedingung bestimmt, daß der im Sinne von Rainich gebildete asymmetrische Bestandteil des Riemannschen Krümmungstensors verschwindet. Aber auch das allgemeine Gleichungssystem (2a), (3) kann aus einer ganz analogen Betrachtung gewonnen werden. Man bilde aus dem elektro- magnetischen Tensor (Φik) den Tensor 2 r i (15) Eik lm = 3 [Φik Φlm + g {Φi,Φkm - Φim Φki)], [ 14]