DOC.
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GENERALIZED
THEORY
OF
RELATIVITY
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Invariantes Linienelement
vollständig
behandelt worden und
zwar,
was
im
allgemeinen
Falle nicht
möglich ist,
auf Grund der Theorie der
Integralformen.
Da sich
an
die
Gravitationstheorie
von
Einstein, insbesondere
aber
an
das Problem der
Differentialgleichungen
des
Gravitationsfeldes,.
eingehendere
mathematische
Untersuchungen
werden
knüpfen
müssen,
mag
eine
systematische Darstellung
der
allgemeinen
Vektoranalysis
am
Platze
sein.
Dabei habe ich mit Absicht
geometrische
Hilfsmittel
bei-
seite
gelassen,
da sie meines
Erachtens
wenig
zur Veranschaulichung
der
Begriffsbildungen
der
Vektoranalysis beitragen. [50]
§ 1.
Allgemeine
Tensoren.
Es
sei
(1)
ds2
=^guvdxudxv
UV
das
Quadrat
des
Linienelementes,
welches
als
invariantes
Maß des Ab-
standes zweier unendlich-benachbarter
Raum-Zeitpunkte
betrachtet wird.
Die
folgenden Entwicklungen
sind,
so
weit keine andere
Bemerkung
gemacht wird,
von
der Anzahl der Variabeln
unabhängig;
diese
möge
mit
n
bezeichnet
sein.
Bei einer
Transformation
(2)
xi
=
Xi{x'1
x'2,
...
x'n)
(i
=
1,
2,...n)
der
Variabeln,
oder einer Transformation
(3)
dx
=2§
dx'k
=2Pikdx'*
k k
d
dx" *"dx*
ihrer
Differentiale,
transformieren
sich die
Koeffizienten
des
Linien-
elementes
gemäß
der Formeln
(4)
g'rs =
^PurPvsgur.
flV
Es
sei
g
die
Diskriminante
der Differentialform
(1),
d.
h. die
Determinante
g
=
|g
u v
|
.
Ist
yuv
die
durch die Diskriminante dividierte
("normierte"),
dem
Element
guv
adjungierte
Unterdeterminante
von
g,
so
transformieren
sich
diese
Größen
yur
nach
den
Formeln
(5)
y'r,
=
nv