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DOC.
13 GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
Spezielle
Tensoren 31
zwei
Differentialoperationen,
die
für
symmetrische
Tensoren
zusammen-
fallen. Weil
(34)
V
\rk\
-
[rk~]
=
^9r*
=
dlogVg
(
'
~ I
r')
~
^rs
L 5
J
~
2
^rs
dxk dxk
ist, so
läßt sich
die
Formel
(33)
auch zusammenfassen in
(35)
V
if
r
rk
§
3. Spezielle
Tensoren
(Vektoren).
Ein
kovarianter
(kontravarianter)
Tensor heiße
speziell,
wenn
seine
Komponenten
ein
System von
alternierenden Funktionen
der
Grundvariabeln bilden.
Die
Komponenten
eines
speziellen
Tensors sind demnach
den
fol-
genden Bedingungen
unterworfen:
1.
Es ist
Tr1r2...rx =
0,
wenn
zwei der Indizes
r1, r2,
...
rx
ein-
ander
gleich
sind.
2. Unterscheiden
sich
r1,
r2,
...
rx
und
s1,
s2,
...
sx
nur
durch die
Reihenfolge
der
Indizes, so
ist
Tr1r2...rx
=
+
Ts1s2...sX,
je
nachdem
r1, r2,
...rx
und
s1,
s2,....sA
Permutationen derselben Klasse sind oder nicht.
Zwei
Permutationen
gehören
bekanntlich
zu
der
gleichen
Klasse,
wenn
beide durch
eine
gerade
bezw.
ungerade
Anzahl
von
bloßen Vertau-
schungen
zweier Indizes
aus
der
Grundpermutation
1,
2,
...
n
hervor-
gehen.
Die Anzahl der linear
unabhängigen Komponenten
eines
speziellen
Tensors
vom
Range
A
ist demnach
(n).
Die
Theorie
der
speziellen
Tensoren
gestaltet
sich
vermöge
dieser
Eigenschaften einfacher,
aber auch
reichhaltiger
als die
der
allgemeinen
Tensoren;
sie
ist
von
besonderer
Bedeutung
für
die
mathematische
Physik,
weil
die
Theorie der
Vektoren
Ater
Art
(Vierer-,
Sechservek-
toren bei
n
=
4)
sich zurückführen
läßt
auf die speziellen
Tensoren
vom
Range
L.
Vom
Standpunkte
der
allgemeinen
Theorie
aus
ist
es
zweckmäßiger von
den Tensoren
auszugehen
und
die
Vektoren
ledig-
lich als
spezielle
Tensoren
zu
behandeln.
Wichtig
für
die
Vektoranalysis
der
n-dimensionalen
Mannigfaltigkeit
UV
ist ein
spezieller
Tensor
nten Ranges,
der mit der Diskriminante
g
des
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