DOC.
9
FORMAL FOUNDATION OF RELATIVITY
77
1034
Gesammtsitzung v.
19.
Nov. 1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
der
allgemeinen
Relativitätstheorie
dieselbe Rolle wie das Element
der
Weltlinie in
der
ursprünglichen
Relativitätstheorie.
Im
folgenden
sollen die
wichtigsten
Satze des absoluten
Diffe-
rentialkalkuls
abgeleitet
werden,
die in
unserer
Theorie
an
die Stelle
der Sätze der
gewöhnlichen
Vektoren-
und
Tensorentheorie
der
drei-
dimensionalen bzw.
vierdimensionalen
Vektorrechnung
(die
sich
auf
das
euklidische Element
ds bezieht)
treten; mit Hilfe
jener
Sätze können
die Gesetze
der
allgemeinen
Relativitätstheorie,
welche bekannten
Ge-
setzen der
ursprünglichen
Relativitätstheorie
entsprechen,
ohne Schwie-
rigkeit abgeleitet
werden.
B.
Aus
der
Theorie
der
Kovarianten.
§
3.
Vierervektoren.
Kovarianter Vierervektor.
Vier
Funktionen
Av
der
Koordinaten,
welche
fur
jedes beliebige Koordinatensystem
definiert
sind, nennt
man
dann
einen
kovarianten
Vierervektor oder einen kovarianten Tensor
ersten
Ranges,
wenn
fur ein beliebig gewähltes Linienelement mit
den
Komponenten
dxv
die Summe
X
A-dx'-f
(3)
w
beliebigen
Koordinatentransformationen
gegenüber
eineInvariante
(Skalar)
ist.
Die
Größen
Av
nennt
man
die
»Komponenten«
des
Vierervektors.
Das
Transformationsgesetz
für
diese
Komponenten folgt
unmittel-
bar
aus
dieser Definition.
Beziehen sich namlich die Zeichen
A'v,
dx'v
auf
denselben
Punkt
des
Kontinuums,
aber
auf
ein
beliebig gewähltes
anderes.
Koordinatensystem,
so
ist
%A'.dx:
=
%A.dx.
=
*
m
w
Da die
Gleichung
fur
beliebig gewählte
dx'v
gelten soll,
so
folgt
das
gesuchte
Transformationsgesetz:
A-.(3a)
[7]
Umgekehrt
ist
leicht
zu
zeigen,
daß
aus
der
Gültigkeit
dieses Trans-
formationsgesetzes
folgt,
daß
Av
ein kovarianter
Vierervektor
ist.
Kontravarianter Vierervektor.
Vier Funktionen
Av
der
Ko-
ordinaten,
welche
fur
jedes
beliebige
Koordinatensystem
definiert
sind,
nennt
man
dann einen
kontravarianten
Vierervektor oder
einen
kontravarianten
Tensor
ersten
Ranges, wenn
das
Transformationsgesetz