DOC.
9
FORMAL
FOUNDATION OF
RELATIVITY
85
1042
Gesammtsitzung v.
19.
Nov. 1914.
-
Mitth. d.
phys.-math.
Cl.
v.
29. Oct.
dra
=
j
fdX,dX,dX,dXt
und schreiben
statt
(17)
dr0.
(17a)
Der
antisymmetrische
Fundamentaltensor
von
Ricci und
Levi-Givita. Wir
behaupten,
daß
G
Vyäuxm
Mm
(19)
ein kovarianter Tensor ist.
Siklm
bedeutet dabei
+
1
bzw.
-
1,
je nach-
dem
man
1
2
3
4
zu
iklm durch eine
gerade
oder
ungerade
Zahl
von
Indexvertauschungen
gelangt.
Zum Beweise bemerken wir
zunächst,
daß die
Determinante
X
=
V (20)
Mm
bis
auf
einen
belanglosen
Zahlenfaktor
gleich
dem
Volumen des
elemen-
taren
Pentaeders
ist,
dessen
Ecken
gebildet
werden durch einen
Punkt
des Kontinuums und
vier
Endpunkte
von
willkürlichen Linienelementen
(dxi(1)), (dx2k),
(dx3l)
und
(dx4m),
welche
von
diesem Punkt
aus gezogen
sind.
Nach
(19)
und
(2)
ist
MmGiklV.
Da die rechte Seite dieser
Gleichung
nach
(17)
ein Skalar
ist,
so
ist
(Giklm)
ein
kovarianter
Tensor,
und
zwar
wegen
der Definitions-
eigenschaften
von
Siklm
ein
antisymmetrischer
kovarianter
Tensor.
Aus diesem bildet
man
leicht durch
gemischte Multiplikation
einen
kontravarianten Tensor nach dem Schema
X
G^9"9t9u9mm
-
£"*"•
(21)
Der kontravariante Tensorcharakter
ergibt
sich
unmittelbar aus
§
4.
Die
linke Seite
nimmt
vermöge (19)
die Form
an
tggkkgmn,
was vermöge
bekannter
Determinantensätze
gleich
^9
&um'%t&*9"'.9*9*94'
oder
gemaß
(11)
gleich
I'
vi
[10]
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