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DOC.
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FORMAL
FOUNDATION
OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
1053
Riemann-Christoffelscher
Tensor.
Die
Formel
(29) gestattet
eine
sehr einfache
Ableitung
des bekannten Kriteriums
dafür,
ob ein
gegebenes
Kontinuum mit
gegebenem
Linienelement
ein euklidisches
ist,
d. h.
ob
man es
durch eine
passend gewählte
Substitution erzielen
kann,
daß
ds2
überall
gleich
der
Quadratsumme
der Koordinatendiffe-
rentiale wird.
Wir
bilden
aus
dem kovarianten Vierervektor
Am
durch
zweimalige
Erweiterung
gemäß (29)
den Tensor
dritten
Ranges
(Auvy).
Man
erhalt
[21]
r
Ama
1{1.Jax,
__JiiXl 3A
1•
__
I
3 Jgsvj
__
Es
folgt
hieraus
sofort,
daß auch
(A^-A^)
ein kovarianter Tensor
dritten
Ranges
ist;
es
ist also
a
__~
__ts0lltnlfllA.
~rJLeJ I~JL°J/J
[22]
ein kovarianter Tensor
r
dritten
Ranges,
die
eckige
Klammer also ein
Tensor vierten
Ranges
(Kuvy),
welcher nach dem Indizes
\a, v,
X
kovariant,
nach
r
kontravariant ist. Alle
Komponenten
dieses Tensors
verschwinden,
wenn
die
guv
Konstante sind.
Dies Verschwinden
findet immer
statt,
wenn
es bezüglich
eines
passend gewählten Koordinatensystems
stattfindet. Das
Verschwinden der Klammer für alle Indexkombinationen ist also eine
notwendige Bedingung dafür,
daß sich das
Linienelement
auf
die
euklidische Form
bringen
läßt; daß diese
Bedingung
hierfür
hinreicht,
bedarf
allerdings
noch eines Beweises.
V-Tensoren.
Ein Blick
auf
die Formeln
(37),
(39), (40), (41),
(41a) lehrt,
daß
Tensorkomponenten häufig
mit
Vg
multipliziert
auf-
treten. Wir wollen deshalb eine besondere
Bezeichnung
für
die
mit
Vg
(bzw.
V-g,
wenn g negativ
ist)
multiplizierten Tensorkomponenten
einführen,
indem wir die
Produkte
mit deutschen Buchstaben
bezeichnen,
z.
B. setzen
a,v7
=
a,
A;vg
=
a:
[23] (Ar),
(A'r)
usw.,
nennen
wir
V-Tensoren
(Volumtensoren).
Sie
geben,
da
Vgdr
= Vg
dx1dx2dx3dx4
ein Skalar
ist,
mit dr
multipliziert,
Ten–