DOC.
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FOUNDATION
OF
GENERAL RELATIVITY
321
A.
Einstein.
oder, wegen
(48),
der
zweiten
Gleichung
(47)
und
(34)
[24]
(50)
xtoa
=
g'r;,rv~. -j~r;~r~'~,.
Es
ist
zu beachten, daB
toa
kein Tensor
ist;
dagegen gilt
(49)
fur alle Koordinatensysteme, für weiche
Y-g
=
I
ist.
Diese Gleichung
druckt
den
Erhaltungssatz
des Impulses und
der Energie für das Gravitationsfeld aus.
In
der Tat liefert
die
Integration
dieser Gleichung über
ein
dreidimensionales
Volumen
V
die vier Gleichungen
(49a)
~(3)
dS,
a
ÔZa
~ _~_(gv~ra\g~'flr.~ra _gcflfvfa
fia ~v,
r~
-g~oF~.fP
öz,,~
wobei
a1, a2,
a3
der Richtungskosinus der nach innen
ge-
richteten
Normale
eines
Flachenelementes der Begrenzung
von der
GröBe
dS
(im
Sinne der euklidischen Geometrie)
be-
deuten.
Man
erkennt hierin den Ausdruck der Erhaltungs-
satze in ublicher Fassung. Die
GröBen
toa
bezeichnen
wir als
die
"Energiekomponenten"
des Gravitationsfeldes.
Ich will nun die Gleichungen
(47)
noch in einer
dritten
Form angeben, die einer lebendigen Erfassung unseres
Gegen-
standes
besonders dienlich
ist.
Durch Multiplikation der
Feldgleichungen
(47)
mit
gro
ergeben sich diese in der
"ge-
mischten"
Form. Beachtet man,
daB
~~fiF
n1~
_~(~aflfa~
=_x(€;
-
welche
GröBe
wegen
(34)
gleich
4~~°t) öx~'
jifti
a
fia
v
oder (nach
geänerter
Benennung der Summationsindizes) gleich
r~
g~oF~.fP
z
fiF
n1~
Das
dritte
Glied
theses Ausdrucks
hebt
sich
weg
gegen das
aus dem zweiten
Glied
der Feldgleichungen
(47)
entstehende;
an Stelle des zweiten
Gliedes
dieses Ausdruckes läBt sich nach
Beziehung (50)
x(tau - 1/2daut)
setzen
(t
=
taa). Man
erhält
also
an
Stelle der Gleichungen
(47)
(51)
_~(~aflfa~
=_x( ;
4~~ t)
x~'
jifti
a