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DOC.
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HAMILTON'S PRINCIPLE
Einstein: Hamiltonsches
Prinzip
und
allgemeine
Relativitatstheorie
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wobei
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nur
von
den
guv,
guva,
guvaT,
W
nur
von
guv,
q(e),
q(e)a
abhange.
Die
Gleichungen (4),
(4a)
nehmen dann die Form
an
__at
__
as
a
___ _
as
_
aqØ
aa.
(7)
(8)
Dabei
steht
©*
zu
®
in derselben
Beziehung
wie
h*
zu
h.
Es ist wohl
zu
beachten,
daß die
Gleichungen (8)
bzw.
(5)
durch
andere
zu
ersetzen
waren,
wenn
wir annehmen
würden,
daß
R
bzw. h noch
von
höheren
als den
ersten
Ableitungen
der
q(e)
abhängig
waren. Ebenso wäre
es
denkbar,
daß die
q(e)
nicht
als
voneinander
unabhangig,
sondern als durch
Bedingungsgleichungen
miteinander
verknüpft
aufzufassen
waren.
All
dies
ist
fur die
folgenden Entwicklungen
ohne
Bedeutung,
da letztere allein
auf die
Gleichungen (7)
gegründet
sind, welche durch Variieren
unseres
Inte-
[7]
grals
nach den
qmv
gewonnen
sind.
§
3.
Invariantentheoretische bedingte
Eigenschaften
der
Feldgleichungen der Gravitation.
Wir
führen
nun
die
Voraussetzung
ein,
daß
ds2
=
gurdxudxv
(9)
eine Invariante sei.
Damit
ist
der
Transformationscharakter
der
guv
festgelegt.
Über
den
Transformationscharakter der
die Materie be-
schreibenden
q(e)
machen
wir
keine
Voraussetzung. Hingegen
seien
die Funktionen
H
=
h/-g
sowie
G
=
s/-g und M
=
R/-g
Inva-
rianten
bezüglich
beliebiger
Substitutionen der
Raum-Zeitkoordinaten.
Aus
diesen
Voraussetzungen
folgt
die
allgemeine
Kovarianz
der
aus
(1)
gefolgerten Gleichungen
(7)
und
(8).
Ferner
folgt,
daß
G
(bis
auf
einen konstanten
Faktor)
gleich
dem Skalar des
Riemannschen Ten-
sors
der
Krümmung
sein
muß;
denn
es
gibt
keine andere Invariante
von
den
fur
G geforderten
Eigenschaften1.
Damit
ist
auch
®*
und
damit die
linke
Seite
der
Feldgleichung (7)
vollkommen
festgelegt2.
Aus dem
allgemeinen
Relativitatspostulat
folgen gewisse Eigen-
schaften
der Funktion
®*,
die wir
nun
ableiten wollen. Zu diesem
1
Hierin
liegt es begründet,
daß
die
allgemeine
Relativitatsforderung zu
einer
ganz
bestimmten Gravitationstheorie fuhrt.
2
Man erhält durch
Ausführung
der
partiellen Integration
gsaeGymn
jaFAWV
WETG.
Sitzungsberichte
1916.
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