590 APPENDIX
B
aufstellen,
so
wird das
Ergebniss
der
Messung
von
Orte
abhängen.
Die
Ergebnisse
der
Messung
an
verschiedenen Orten können nicht direckt mit einander
verglichen
werden. Ebenso ist nach der Lorentz’schen
Kontraktionshypothese,
wenn
wir ein Ko-
ordinaten-Kreuz rotieren lassen und einen Kreis
um
das Zentrum
beschreiben,
die
Peripherie
des
Kreises,
die in der
Bewegungsrichtung
fällt eine
Kontraktion
gegen-
über den Durchmesser erleiden
und
die
Messergebnisse
auf der
Peripherie
und
Durchmesser sind nicht direckt mit einander
zu
vergleichen.
Wir können
nun
die
physikalische Bedeutung
unseren
allgemein
Koordinaten und
der
guv
für die
Messung
von
Raum und Zeit
in
folgender
Weise
gewinnen.
Wir denken
uns
eine hinreichend kleine
Umgebung
eines Raum-Zeit Punktes
P(xv)
,
in
welcher
man
die
guv
als Konstante ansehen kann. Wir führen
nun
anstatt
der Koordinaten
dxv
der
Umgebung
von
P
inbezug
auf
P,
neue
infinitesimale Koor-
dinaten
dXv
ein,
mittelst einer linearen Transformation der
dxv, so
dass die
quadra-
tische Form
ds2
in
dxi
in eine Summe
von
Quadraten
in
dXv
verwandelt wird. Also
ds2
=
Euvguvdxudxv=
-dXv2.
Die
dXi
sind dadurch bis auf eine lineare
orthogonale
Transformation bestimmt.
Wir
nennen
das
System
der
dXi
das
Normalsystem,
und nehmen
an,
dass
in U
inbe-
zug
auf dieses
Normalsystem
die
Messungen
nach der alten Relativitätstheorie
vor-
genommen
werden können. Die Grössen welche wir auf diese Weise
messen,
nennen
wir natürlich
gemessene
Grössen. Die Grösse ds wird der natürliche Abstand zweier
unendlich benachbarter
Raumzeitpunkte gemessen
mittelst relativ
zu
diesem Nor-
malsystem
ruhend
eingeordnete
Einheitsmassstäbe und Lichtuhren.
Um
aber die
Messungen auszuführen,
müssen wir das
Normalsystem kennen,
d. h.
die
guv
kennen,
aus
welchen das
Normalsystem
bestimmt ist.
Wenn
uns
aber
empirisch
das Gravitationsfeld
gegeben
ist,
so
dass wir das Nor-
malsystem gefunden
haben und
Messungen
ausführen
können,
so
können wir daraus
die
guv
bestimmen. Wir nehmen nämlich
10
Punkte Pi
in
U
und
messen
Ihre Ab-
stände
ds
von
P.
Aus den 10
Gleichungen ds2
=
Euvguvdxudxv
können wir die
10
Werte der Funktionen guv
in
U
bestimmen.
Um
nun
die
physikalischen
Gesetze
unserer
allgemeinen
Relativitätstheorie
zu
finden,
gehen
wir
von
der Mathematik
aus.
Die
physikalische
Gesetze der
urspring-
lichen Relativitätstheorie
fanden ihren mathematischen Ausdruck
in
einer
Verknüp-
fung
von
Vektoren und Tensoren.
Wir
verallgemeinern
nun
die Vektoren und
Tensoren Theorie
entsprechend
unserer
allgemeinen
Relativitäts und Gravitations
Theorie für
beliebige
Koordinatentransformationen und
für
unsere
Fläche
mit dem
Linienelement
ds, wo
ds2
=
Euvguvdxudx'v
ist. Wir brauchen dann
nur
in
den alten
Gesetzen
unsere
verallgemeinerte
Vektoren,
Tensoren und
ihre
Operationen
ein-
zusetzen,
um
die
neue
Gesetze
zu
finden.