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DOC. 9
ENERGY
CONSERVATION
450
Sitzung
der
physikalisch-mathematischen
Klasse
vom
16. Mai 1918
wegungszustand
des
Systems (als
Ganzes betrachtet)
relativ
zum
Koor-
dinatensystem gegeben
ist;
es
ist also
beispielsweise
die
»Ruheenergie«
eines
beliebigen abgeschlossenen
Systems von
der Koordinatenwahl
unabhängig.
Der im
folgenden gegebene
Beweis
beruht
im
wesent-
lichen
nur
darauf,
daß die
Gleichung
(1)
für
jede
beliebige
Wahl der
Koordinaten
gilt.
§
2.
Inwiefern sind Energie und
Impuls
von
der Wahl der
Koordinaten unabhängig?
Wir
wählen im
folgenden
das
Koordinatensystem
so,
daß alle
Linienelemente
(0,
0,
0,
dx4)
zeitartig,
alle Linienelemente
(dx1,
dx2,
dx3,
0) raumartig sind;
dann können wir die
vierte
Koordinate in
ge-
wissem Sinne als »die Zeit« bezeichnen.
Damit wir
von
der
Energie
bzw.
dem
Impuls
eines
Systems
reden
können,
muß
außerhalb
eines
gewissen
Bereiches B die Dichte
der
Energie
und des
Impulses
verschwinden.
Dies
wird
im
allgemeinen
nur
dann der
Fall
sein,
wenn
außerhalb
B die
guv
konstant
sind,
d. h.
wenn
das
betrachtete
System
in
einen
»Galileischen
Raum«
eingebettet
ist,
und wir
zur
Beschreibung
der
Umgebung
des
Systems
uns
»Galilei-
scher
Koordinaten« bedienen. Der Bereich B ist
in
der
Zeitrichtung
unendlich
ausgedehnt,
d. h.
er
schneidet
jede
Hyperfläche
x4 =
konst.
Seine
Schnittfigur mit einer
Hyperfläche
x4
=
konst.
ist
stets
allseitig
begrenzt.
Innerhalb
des Bereiches B
gibt
es
kein »Galileisches Koordi-
natensystem«;
die
Wahl
der
Koordinaten
innerhalb
B
unterliegt
viel-
mehr der
einzigen
Beschränkung;
daß sich
letztere
stetig
an
die Koordi-
naten
außerhalb
B
anschließen müssen.
Wir werden
im
folgenden
mehrere
derartige
Koordinatensysteme
betrachten, die alle
außerhalb
B miteinander
übereinstimmen.
Die
Integralsatze
der
Erhaltung
des
Impulses
und
der
Energie
ergeben
sich
aus (1)
durch
Integration
dieser
Gleichung
nach
x1,
x2,
x3
über den Bereich
B.
Da
an
den Grenzen dieses
Bereiches alle
Uvr
verschwinden,
erhält
man
d/dx4
[fu:dx1dx2dx3]
= 0.
(3)(3)
Diese
4 Gleichungen
drücken nach
meiner
Ansicht
den
Impulssatz
(o
=
1
bis
3)
und den
Energiesatz
(o
=
4) aus.
Wir
wollen das in
(3)
auftretende
Integral
mit Jr
bezeichnen.
Ich
behaupte
nun,
daß
die
Jr
unabhängig
sind
von
der
Koordinatenwahl
für alle
Koordinaten-
systeme,
welche
außerhalb B
mit einem und
demselben
galileischen
System
übereinstimmen.
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