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Pythagoreische Invariante
. . . ( )
definiert ist. Die von abhängigen Koeffizienten bestim-
men nicht nur das metrische Verhalten der Welt, d. h. das Verhalten der Massstäbe
und Uhren, sondern auch die Trägheits- und Gravitations-Erscheinungen, wie sich
aus der Aequivalenz-Hypothese folgern lässt.
Betrachten wir nämlich zunächst ein endliches Gebiet, in welchem mit hinrei-
chender Näherung die spezielle Relativitätstheorie gilt. In einem solchen Gebiets-
teil gilt bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems K (Inertialsystem) und der
Zeitmessung die Formel
Führen wir nun ein neues, relativ zu K beschleunigtes Koordinatensystem
ein, so kommt dies mathematisch darauf hinaus, dass wir
neue Raum-Zeit-variable einführen, die mit den ursprünglichen durch eine nicht-
lineare Transformation verknüpft sind. Durch direkte Umrechnung findet man
dann, dass die metrische Invariante dσ in dem neuen System sich durch eine
Formel von der Gestalt ( ) darstellen, wobei nicht sämmtliche Kooffizienten
konstant sind. Andererseits wissen wir aus der Aequivalenzhypothese, dass relativ
zu ein Gravitationsfeld herrscht. Nicht-Konstanz der g bedeutet physikalisch
die Existenz eines Gravitationsfeldes.
Wir kommen also zu dem Ergebnis: Das physikalische Verhalten des Raum-
Zeit-Kontinuums wird durch 10 Grössen beherrscht, welche sowohl
die metrischen Qualitäten (Verhalten der Massstäbe und Uhren) als auch die Träg-
heits- und Gravitations-Erscheinungen bestimmen.
Die Frage der mathematischen Formulierung des allgemeinen Relativitätsprin-
zips ist damit ebenfalls entschieden. Während die spezielle Relativitätstheorie die
Kovarianz der die Naturgesetze ausdrückenden Gleichungen gegenüber gewissen
linearen Transformationen der Koordinaten (Lorentz-Transformationen) forderte,
verlangt die allgemeine Relativitätstheorie Kovarianz gegenüber beliebigen Trans-
formationen. In dieser Theorie haben die Koordinaten nur mehr die Rolle von
rechnerischen Parametern, welchen jede unmittelbare Beziehung zu den physika-
lischen Realitäten abgeht (abgesehen von der durch die Natur des Raum-Zeit-Kon-
tinuums bedingten Vier-Zahl).
(22) Allgemeine Relativitätstheorie und Aether. Die Einfügung der im Rahmen der
speziellen Relativitätstheorie bereits bekannten Naturgesetze in den weiteren
Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie hat keine Schwierigkeit. Die mathe-
matischen Methoden lagen fertig vor in dem auf den Gauss-Riemann’schen For-
schungen gegründeten „absoluten Differentialkalkül“, der insbesondere von Ricci
dσ2
g11dx1
2
2g12dx1dx2 . . . g44 dx4
2
+ + =
x1, x2, x3, x4 g11 . . . g44
dσ2 dx1 2 dx2 2 dx3 2 dx42 + + + =
K′( x′1, x′2, x′3, x′4 )
K′
gμν
K′
g11 . . . g44
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