510 DOC. 71 PRINCETON LECTURES
-11-
geben damit der Aussage der Gleichzeitigkeit
distanter
Ereignisse (hypo-
thetisch) eine objektive Bedeutung, wahrend oben
nur
von der Gleich-
zeitigkeit
zweier Erlebnisse eines Subjekts die
Rede
war.
Die so
fest-
gelegte Zeit
ist
jedenfalls unabhángig von der
Lage
des Koordinatensystems
im
Bezugsraume, also eine
Invariante
bezuglich der
Transformation
(3).
Die
vorrelativistische Physik
postuliert,
daB
die ihre Gesetze
aus-
drückenden
Gleichungssysteme mit Bezug
auf
die
Transformation
(3)
kovariant
seien, ebenso
wie die
Relationen der euklidischen Geometrie.
Es wird dadurch die Isotropie und Homogenität
des
Raumes zum Aus-
druck
gebracht1).
Wir
wollen
nun
die wichtigsten physikalischen Glei-
chungen von diesem Gesichtspunkte aus betrachten.
Bewegungsgleichungen des Massenpunktes
[22]
Beispiele
von
Vek-
toren und
Tensoren
m
d2xv/dt2
=
Xv
............. (14)
(dxv)
ist
ein
Vektor,
dt,
also auch
1/dt
eine
Invariante, also
(dxv/dt)
ein
Vektor; ebenso zeigt man,
daB
(d2xv/dt2)
ein Vektor ist. Allgemein
andert
der DifferentiationsprozeB nach der Zeit den
Tensorcharakter
nicht,
Da m eine
Invariante
ist (Tensor nullten Ranges),
so
ist
auch
(m
d2xv/dt2)
ein
Vektor
oder Tensor ersten
Ranges
(nach
dem
Satz von der
auBeren
Multiplikation
der Tensoren).
Hat
also die
Kraft
(Xv)
Vektorcharakter,
so
gilt dies auch für
die
Differenz
(
m
d2xv/dt2-xv).
Die
Bewegungs-
gleichung gilt also auch
für
jedes andere kartesische Koordinatensystem
des
Bezugsraumes.
Fur
den
Fall,
daB
die
Krafte
konservative sind,
ist der
Vektorcharakter
von
(Xv)
leicht
erkennbar.
Denn dann
existiert
eine potentielle
Energie O,
welche
nur von den
Punktabstanden
ab-
hangt, also eine
Invariante ist;
dann
ist
der
Vektorcharakter
der
Kraft
Xv
=
-do/dxv
eine
Folge unserer allgemeinen Satze
(Erweiterung
eines
Tensors
vom
Range
0).
[23]
1)
Allerdings
könnte
man
z. B.
auch in dem
Falle,
daB es
im Raume
eine
physikalisch
bevorzugte
Richtung
gäbe,
die physikalischen Gesetze
durch
Gleichungen zum Ausdruck
bringen,
welche bezuglich der
Transformationen
(3)
kovariant
sind; eine
solche
Darstellung
ware aber in diesem Falle eine
un-
zweckmaBige Gabe es
namlich
eine bevorzugte
Richtung,
so
ware
es
im
Interesse der
Einfachheit der Naturbeschreibung
zweckmaBig, das Koordinaten-
system zu dieser
Richtung
in
bestimmter
Weise zu
orientieren.
Ist
aber
um-
gekehrt
keine Riechtung des Raumes
vor anderen
physikalisch
bevorzugt,
so
ist
es
unlogisch, die
Naturgesetze
so
zu
formulieren,
daB
die
Gleichwertigkeit
verschieden
orientierter Koordinatensysteme
verborgen bleibt.
Wir
werden
diesen
Gesichtspunkt
bei
der
speziellen
und
allgemeinen
Relativitatstheorie
wieder
antreffen.