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DOCUMENT 420 DECEMBER 1917
möchte
mir
gestatten,
Ihnen über
meine
Bemühungen
zu
berichten. Es
ist
mir
zwar
wahrscheinlich,
daß Sie selbst schon
längst
diese
Seitenwege
im Pack Ihrer Theo-
rie kennen und
auf
ihnen weiter
vorgedrungen
sind als
ich,
doch wäre
es
immerhin
möglich,
und würde
mir
eine
große
Freude
bereiten, wenn
Sie
einigen
Vorteil
von
den einen
oder anderen hätten.
Vorerst
möchte ich einen Irrtum
berichtigen,
der sich in
meinem
früheren
Schreiben
befindet.[3]
Ich führte da ein
Beispiel
eines Raums
von
nicht
verschwin-
dender
Krümmung
an,
in
dem der
Energietensor
der
Materie verschwinden solle.
Nachträglich
habe ich
aber in
einer
verborgenen
Ecke
des
Tensors
nichtverschwin-
dende
Komponenten
bemerkt.
1.)
Meine
Hauptbemühungen
seit
Empfang
Ihres Briefes
waren
der
Vereinigung
des
elektromagnetischen
mit dem Gravitationsfeld
gewidmet.[4]
Ich
habe
eine Lö-
sung
noch nicht
gefunden.
Größere
Rechnungen
stellte ich in diese
Richtung
an,
indem ich
von
einem
unsymmetrischen
Fundamentaltensor
guv
ausging. Folgende
Bildungen
will ich anführen.
a)
Zerlegung
in einen
symmetrischen
und einen
antisymmetrischen
Teil
guv =
suv
+
öuv.
Determinante:
g,
bezw.
s
Unterdeterminante,
dividiert durch
g
(bezw
s)
selbst:
guv,
bezw.
suv.
Zguagva
=
evu
=
0 oder
1, ebenso
gaugav
= evu,
dage-
gen
gaugva =
avu
(=
1);
guagav =
ivu;
hieraus
guv = aavgau = iaugva;
guv = auagva =
ivagau; iva.aau
=
iau.ava =
evu.
dguv =
-gavguBdgaB;dguv
=
-gavguBdgaB;
dlogg/dt
=
guvdguv/dt
=
-guvdguv/dt
(:t
ein
Parameter:)
b)
Ist
Av
ein
Vektor,
so
ist
fuv
=
guvdAa+gavdA+Aadguv
guadAv/dxa+gavdAu/dxa-Aadguv/dxa.
ein Tensor,
ebenso
Hierzu
noch
andere
durch
Multiplikation
mit
gua, bezw
gav
u.s.w.
c)
Aus den 64
Ableitungen
der
guv
kann
man eindeutig
die 40 zweiten Ableitun-
gen
der xa
berechnen,
wenn
zwischen den
guv
und
g'u'v'
24
Relationen
bestehen.
Diese Relationen
besagen,
daß
folgendes
Größensystem
ein Tensor ist:
Auv,a=dguv/dxa-guv.{vaa]-gav.[uaa],s
(:Erweiterung
des
Fundamentaltensors:)
wo
das
angehängte
s
bedeutet,
daß die
Symbole
für den
symmetrischen
Tensor
suv
zu
bilden sind
(:Für
den
unsymmetrischen
werden sie
unten
definiert:)