DOC.
9
FORMAL
FOUNDATION
OF RELATIVITY
81
1038
Gesammtsitzung
v. 19.
Nov.
1914.
-
Mitth.
d.
phys.-math.
Cl. v.
29. Oct.
kontravarianten
Tensor zweiten
Ranges
oder Sechservektor
(weil
er
12
von
Null verschiedene
Komponenten
hat,
die
zu
je
zweien
den
gleichen
absoluten
Betrag
haben. Der kontravariante Tensor
dritten
Ranges
Au:A
ist
antisymmetrisch, wenn
die
Bedingungen
erfüllt sind
A"x
=
-
A*9
=
-
A"*
=
A**
=c
-
A?*
=
Am*
Man
erkennt,
daß
es (in
einem Kontinuum
von
4 Dimensionen)
nur
4
numerisch
von
Null
verschiedene
Komponenten
dieses
antisym-
metrischen Tensors
gibt.
Daß diese Definition
eine
von
der Wahl des
Bezugssystems
unab-
hängige Bedeutung
besitzt,
beweist
man
leicht
aus
Formel
(5a)
bzw.
(8).
So
ist
z.
B.
gemäß
(5a)
3
9afe
X.
9*.'
Ersetzt
man
AuB
durch
-
Aßm
(was
gemäß
der
Voraussetzung ge-
stattet
ist)
und vertauscht
man
hierauf
in
der
Doppelsumme
die Sum-
mationsindizes
ß
und
a,
so
hat
man
A'
V
3x-
A
x, Öl,
gemäß
der
Behauptung. Analog
ist
der
Beweis für kontravariante
Tensoren und
fur
Tensoren
dritten
und vierten
Ranges. Antisymme-
trische Tensoren höheren als vierten
Ranges
kann
es
in einem vierdimen-
sionalen Kontinuum
nicht
geben,
weil
alle
Komponenten verschwinden,
für
welche zwei
Indizes
gleich
sind.
§
5.
Multiplikation
der Tensoren.
Äußeres
Produkt
von
Tensoren. Wir
haben
gesehen (vgl.
Gleichungen
(6), (8)
und
(9)),
daß
man
durch
Multiplizieren
der
Kom-
ponenten
von
Tensoren
ersten
Ranges
die
Komponenten
von
Tensoren
höheren
Ranges
erhält.
Analog
können wir
Tensoren höheren
Ranges
aus
solchen
niedrigeren
Ranges
durch
Multiplizieren
aller
Komponenten
des einen Tensors mit denen
des anderen stets herleiten.
Sind bei-
spielsweise
(Au3)
und
(Bur)
kovariante
Tensoren,
so
ist
auch
(AuB.B^mv)
ein kovarianter
Tensor
(fünften
Ranges).
Der
Beweis
ergibt
sich
so-
fort
aus
der
Darstellbarkeit
der
Tensoren durch
Summe
von
Produkten
von
Vierervektoren:
B
also
2
4"
51°
-B?;
also ist
(A^B
Bumv)
ein Tensor
fünften
Ranges.