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DOC.
45 QUANTUM
THEOREM
86 A. Einstein,
[Nr. 9/10.
durch
jeden
Punkt
(qi)
des
Koordinatenraumes
eine bestimmte
Bahnkurve
hindurchgehen;
es
werden also diesem
Punkte
auch
bestimmte
Impulskoordinaten pi zugeordnet
sein. Es
ist damit
im Koordinatenraume
der
qi
ein
Vektorfeld der
pi
gegeben.
Wir
stellen
uns
die
Aufgabe,
das Gesetz dieses Vektorfeldes aufzu-
stellen.
Betrachten wir in dem kanonischen
Gleichungssystem
3)
die
pi
als Funktionen der
qi, so
haben wir die linken Seiten durch
dpidqu
dqk
dt
zu
ersetzen,
wofür nach
4)
auch
dpi
dH
k
Hk
~d~pk
gesetzt
werden kann. Wir
erhalten
also
an
Stelle
von
3)
dH
dqi
+
k
d
H
dpi
dpk
d
qk
0.
12)
Es ist dies ein
System
von
l
linearen
Differentialgleichungen,
welchen
die
pk
in
Funktion der
qk
zu
genügen
haben.
Wir
fragen nun,
ob
es
derartige
Vektorfelder
gibt,
für
welche
ein Potential
J*
existiert, d. h.
für
welche
die
Bedingungen
10)
und 10a)
erfüllt
sind.
In
diesem Falle nimmt
12)
wegen
10)
die
Form
an
dH
dqi
+
2
dH
dpk
dpk~dqi
0.
Diese
Gleichung besagt,
daß
H
von
den
qi
unabhängig
ist.
Es
existieren also
Potentialfelder
von
der
gesuchten
Art,
und
deren
Potential J*
genügt
der
Hamilton-Jacobischen
Gleichung
5a)
bzw.
J
der
Gleichung
5).
Damit
ist
gezeigt,
daß durch
7a)
und 5a)
bzw.
7)
und
5)
die
Gleichungen
3)
ersetzt
werden können.
Wir wollen noch
zeigen,
daß durch 6a)
bzw.
6)
dem
Gleichungssystem
4)
Genüge geleistet
wird,
wenn
dies
für
die
folgenden Überlegungen
auch
nicht
von
Belang
ist.
Hat
man
nach
Integration
von
5a)
vermöge
7a)
die
pi
in Funktion der
qi
ausgedrückt,
so
bilden die
Gleichungen
4)
ein
System von
totalen
Differentialgleichungen zur Bestimmung
der
qi
in Funktion der Zeit. Nach der Theorie
der
Differential–