DOC. 28 NORDSTROM'S THEORY OF GRAVITATION
593
Die Nordströmsche
Gravitationstheorie
usw.
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Zur
Bestimmung
der
einen
Größe
Q2 brauchen
wir eine
einzige Differentialgleichung,
die wie die
Poissonsche
Gleichung
skalaren Charakter
haben
wird.
Diese
Gleichung
wollen wir
ebenso
wie die
früheren in
allgemein
kovarianter Form
auf-
stellen, d.
h. ohne
zunächst
die
durch das
Prinzip von
der
Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit nahegelegte Spezialisierung
des
Bezugssystems
auszuführen.
Die
gesuchte Gleichung
ist
vollständig
bestimmt durch
die
Annahme,
daß
sie
von
der
zweiten
Ordnung
ist,
wenn man
noch
berücksichtigt,
daß sie
eine
Verallgemeinerung
der
Poissonschen
Gleichung
sein muß.
Offenbar
wird sie
von
der Form sein
(5)
L=xE,
wobei
r ein Skalar
ist,
der
aus
den Größen
guv
und deren
ersten und zweiten
Ableitungen gebildet
ist,
und
%
ein Skalar,
der
durch
den
materiellen
Vorgang,
nach
dem
Gesagten
also
durch die
%ov,
bestimmt ist.
x
bedeutet
eine
Konstante.
Aus
den
Untersuchungen
der Mathematiker über
die Diffe-
rentialtensoren
einer mehrdimensionalen
Mannigfaltigkeit geht
hervor,
daß der
einzige
Ausdruck,
der für r
in
Betracht
kommt,
eine Funktion
ist
von
7imYki {ift,
Im).
iklm
Dabei bedeutet
(ik,
lm)
den
bekannten
Riemann-Christoffel-
schen Tensor
vierten
Ranges,
der mit
dem
Krümmungsmaße
der Flächentheorie
zusammenhängt,
und durch
die
Gleichung
(ik,
lm)
=
4
*4 9i
TO
+
d2
9iil
d*gm
k
2\dxkdxi
dxidxm dxkdxm dxtdxi)
+
r/oo
QO
im\
9
kl
a
n
9.
km
er
definiert
ist,
wobei
im
Q
.
bedeutet
1/2
dglR
d
d
gim \.
2 l d
xm
d
Xi
dxe
)
Ferner ist
aus
der
allgemeinen
Kovariantentheorie
klar,
daß
zu
den
Eov
nur
der Skalar
1/-g E Err
gehört
(bzw.
eine
Funktion dieser
Größe).
Hieraus
geht hervor,
daß
die
gesuchte Gleichung
die
Form
(5a)
YimYM
lm)
=
iklm
y -
9
z
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