DOC.
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FORMAL FOUNDATION
OF RELATIVITY
84
Einstein:
Die
formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitatstheorie.
1041
stitutionen
verbunden.
Daraus
folgt,
daß das
uber
ein Volumelement
erstreckte
Integral
dr'0 =
j dX^d^dX,
eine Invariante,
d.
h.
völlig unabhängig
von
jeder
Koordinatenwahl
ist.
Wir
wollen
fur
diese Invariante einen zweiten Ausdruck
suchen.
Es bestehen
nun
jedenfalls Beziehungen
von
der
Form
dX,
=
^«ndx.,
(13)
woraus
folgt
*S=s|«»|fr,
(14)
wenn
mit dr bzw.
drQ
das
Integral
jdx,-.dx,
bzw.
jdXtdXtdXzdX4
erstreckt
über dasselbe
Elementargebiet
bedeutet.
Nach
(12)
und
(13)
ist
.
ferner
9~
=
(15)
9
und
folglich
nach dem
Multiplikationssatz
der
Determinanten
k..I
(16)
Mit
Rücksicht
hierauf erhält
man aus (14)
Ygdrssdrl,
(17)
wobei
der
Kürze halber
|guv| =
g gesetzt
ist. Damit haben wir die
gesuchte
Invariante
gefunden.
Bemerkung.
Aus
(12) geht hervor,
daß die
dXr
den in
der
ursprünglichen
Relativitätstheorie üblichen Koordinaten
entsprechen.
Von
diesen sind drei
reell,
eine
(z.
B.
dX4)
imaginär.
drQ
ist
daher
imaginär.
Anderseits ist im Falle
der
ursprünglichen
Relativitäts-
theorie die Determinante
g
bei reeller Zeitkoordinate
negativ,
da
die
guv
(bei
passender
Wahl
der
Zeiteinheit)
die
Werte
(18)
-1
0 0 0
0
-1
0
0
0 0
-1
0
0 0 0
1
erhalten;
}/g
ist
daher
ebenfalls imaginar.
DaB
dies allgemein
der
Fall
ist, wird in
§
17
gezeigt. Um Imaginare zu vermeiden, setzen
wir