DOC.
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FOUNDATION OF GENERAL RELATIVITY
315
800
A.
Einstein.
d.
h. die
Erweiterung
des Vierervektors
Av
ein.
Dann
erhält
man (bei
etwas
geänderter
Benennung
der
Indizes)
den Tensor
dritten
Ranges
A
u/nt dxaöxx
Ui
rl
dÄß
_
ht
il
d_˱
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jv
*1
d
An
l
?
i
ö*, u
1
dx»
t
q
J
àxe
[-£17!
+
171(71
+
17!
(7(1 Aq.
Dieser
Ausdruck
ladet
zur Bildung
des Tensors
Auat
-
Auta
ein. Denn
dabei
heben
sich
folgende
Terme
des Ausdruckes
für
Auat
gegen
solche
von Auta
weg:
das erste
Glied,
das vierte
Glied, sowie
das dem
letzten
Term
in
der
eckigen
Klammer
entsprechende
Glied;
denn alle diese sind in
a
und
t
symme-
trisch.
Gleiches
gilt
von
der
Summe des zweiten und
dritten
Gliedes.
Wir
erhalten
also
(42)
ua/
=
(43)
Be
=
L'fl
O
T -
__i_
I#*»!
I
s
a*,UJ
-r/iw+fxi.J
Wesentlich
ist
an
diesem
Resultat,
daß auf der
rechten Seite
von (42)
nur
die
Aq,
aber
nicht
mehr
ihre
Ableitungen
auf-
treten.
Aus
dem Tensorcharakter
von
Auat
-
Auta
in
Ver-
bindung
damit,
daß
Aq
ein frei
wählbarer
Vierervektor ist,
folgt, vermöge
der
Resultate
des
§
7,
daß
Bquat
ein Tensor
ist
(Riemann-Christoffelscher
Tensor).
Die mathematische
Bedeutung
dieses Tensors
liegt
im
folgenden.
Wenn das
Kontinuum
so
beschaffen ist,
daß
es
ein
Koordinatensystem
gibt,
bezüglich
dessen die
guv
Kon-
stanten
sind,
so
verschwinden alle
Rquat.
Wählt
man
statt
des
[21]
ursprünglichen Koordinatensystems
ein
beliebiges
neues,
so
werden die
auf
letzteres
bezogenen
guv
nicht Konstanten
sein.
Der Tensorcharakter
von
Rquat
bringt
es
aber mit
sich,
daß
diese
Komponenten
auch
in
dem
beliebig gewählten Bezugs-
system
sämtlich verschwinden. Das
Verschwinden
des
Rie-
mannschen Tensors
ist
also
eine
notwendige Bedingung
dafür,
daß
durch
geeignete
Wahl des
Bezugssystems
die Konstanz