9 6 8 A P P E N D I X G Mi objeto es—continuó el sabio—mostrar, recurriendo a un ejemplo sencillo, que no hay paradoja al decir que un espacio puede ser finito y sin límites. Si suponemos—prosi- guió—que entre (el doctor Einstein operó con circuillos) dotados de inteligencia como la nuestra, pero incapaces de percibir más de dos dimensiones (dos son las dimensiones de los círculos) habían sobre una superficie esférica, ellos consideran el mundo en que viven como plano o indefinido, aun cuando nosotros sabemos que es finito y sin límites sin límites, ya que en ninguna parte se tropieza con la imposibilidad de pasar a un punto vecino, y esto en cualquier dirección que se considere. Si, por otra parte, estuviesen en posesión de los principios de la geometría de Euclides, habrían deducido por ejemplo que la rotación entre la longitud de la circunferencia y el diá- metro era igual a N [π]. Pero si mediante un segmento materializado de recta [midis]sen la longitud de un circulo trazado en su mundo y la del diámetro que suponen recto, se sorpren- derían al hallar otro valor. Llegarían así al convencimiento de que la geometría euclideana de dos dimensiones por ellos construída no corresponde a los objetos reales. Si introdujesen una tercera dimensión, que escapa a sus facultades de concepción, podrían restablecer la armonía entre las figuras reales y la geometría. Se ve en este ejemplo el sentido de las con- sideraciones hechas a propósito de esta ciencia en el párrafo, precedente. Entretenido es operar con las sombras que de estos entes proyecta, sobre un piano tan- gente a esa superficie esférica un punto luminoso situado en la antípoda del punto de tangencia. Esas sombras serán de tanto mayor extensión cuanto más cerca del foco se en- cuentren aquéllos. Si imaginamos que estas sombras son nuevos entes, y que fuesen los ha- bitantes exclusivos de ese plano, ¿cómo llegarían al conocimiento del aumento de tamaño que experimentan al alejarse del punto en que su mundo toca a da esfera? Cosa muy distinta ocurriría si se tuviesen allí mismo otros cuerpos rígidos, una regla por ejemplo con ella po- drían evidenciar aquel hecho. Los ejemplos que hemos mencionado ilustran—dijo—sobre el significado real de la geometría. Extendió luego las consideraciones precedentes si espacio de tres dimensiones.