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DOC.
1
MANUSCRIPT
ON SPECIAL
RELATIVITY
T\
c
U't
t
=
T
a ...a
a.T...a,TL
a
U,
T
_
Sl°\
i",
m
m
hX\
tnXn I"
m
V-V
1
m
1
n
[p. 50]
Die
Bildung
eines
neuen
Tensors durch
äussere
Multiplikation geschieht
also
nach dem Schema:
(T"a)(U
)
=
(T
U
)
...(35)
im
In
1
m
1
n
Bemerkung.
Wenn
wir alle
Komponenten
eines Tensors mit ein und derselben
bezüglich
Koordinatentransformationen invarianten Zahl
(Skalar) multipli-
zieren,
so
erhalten
wir,
wie
aus
(34) hervorgeht
wieder einen Tensor
vom
gleichen Range.
Man kann diese
Multiplikation
als eine
äussere im
Sinne
von
(35)
ansehen,
indem
man
den Skalar
als
einen Tensor nullten
Ranges
betrach-
tet;
diese
Auffassung
des Skalars ist
überhaupt zweckmässig.
Bemerkung.
Biltet
man aus
zwei
symmetrischen
Tensoren
bezw.
aus
zwei
Vektoren das äussere
Produkt,
so
bleibt der Charakter der
Symmetrie
bezw.
der
Vektorcharakter nicht
gewahrt.
Es
lassen sich aber durch Kommutieren
von
Indizes und Addition
bezw.
Subtraktion
aus
dem Resultat wieder
symme-
trische
Tensoren
bezw.
Vektoren bilden.
Bemerkung. Gleichung
(35)
zeigt,
dass die Faktoren
vertauschbar
sind.
Innere
Multiplikation
von
Tensoren.
Es sei ein
Tensor
vom
m-ten
Range
(To1...om)
und
ein
Tensor
vom
n-ten
Range
(Ut1...tn)
gegeben,
und
es
sei
m
n.
Dann läst sich
zeigen,
dass
I
U"aT
=
V
...(36)
1
n
1
m n
+
1
m
CT.
...
G
1
n
ein Tensor
vom
Range
m - n
ist,
den
man
das
"innere
Produkt" der Tensoren
(Ut1...tn)
und
(To1...om)
nennt.
Der
Beweis,
dass
Von+1...om
ein Tensor
ist,
ergibt
sich
folgendermassen.
Aus
(34)
folgt
U'v
c
=
y
ao
-r
ac
-r t
UT
T
1
-
n
~
11
2
2 SnXn
1"'
n
Xl"'Xn~
T'sv..sm
=
X
aslCias202"-aSmGmTC\...Cm
G. ...G
1
m
Hieraus
folgt
V
=
y
a
"
...a
"
a"
"
...a
"
U.
.
Tn
Sn+\"-Sm
r
SnXn
51
°
1
SmCm
V"Tn
V"°m"
Es
ist aber nach
(16)