DOC.
2
COVARIANCE PROPERTIES
15
Von
Albert Einstein
und
Marcel
Grossmann.
223
M
können wir
als
eine
aus
M
durch
Variation
hervorgehende Mannig-
faltigkeit
bezeichnen.
Dementsprechend
bezeichnen wir
sinngemäß
J-J=daJ,
8ar,
und erhalten also
(4)
öaJ'
=
8aJ.
Der Index
a
soll
zum
Ausdruck
bringen,
daß
zugleich
mit
der
Mannigfaltigkeit
das
Koordinatensystem
in solcher Weise
mitvariiert
worden
ist,
daß
das variierte
Koordinatensystem
der
variierten
Mannig-
faltigkeit
stets
angepaßt ist, derart,
daß
das
Koordinatensystem
an
der
Begrenzung
unvariiert bleibt
("angepaßte Variation").
Unser Ziel
ist
der
Nachweis,
daß
eine
Gleichung
6J'
=
ÔJ
für
eine
beliebige
Variation der
Mannigfaltigkeit
erfüllt
ist,
nicht
nur
wie
Gleichung (4) aussagt,
für eine
angepaßte
Variation.
Nun
können
wir aber eine
beliebige
Variation der
guv aus
einer
angepaßten
hervor-
gehen lassen, wenn
wir
nach
ihr
noch eine Variation des Koordinaten-
systems
ausführen.
Es
ergibt sich,
daß für eine Variation der
guv,
die
nur
einer Variation
des
Koordinatensystems
entspricht,
die Variation
von
J, die wir mit
äkJ
bezeichnen, verschwindet,
sofern wir
voraus-
setzen,
daß die
Variationen
Sxv
und ihre ersten
Ableitungen
an
der
Be-
grenzung
des Gebietes
verschwinden,
und
daß das
Koordinatensystem,
von
dem
aus
die Variation
erfolgt,
ein
angepaßtes System
ist. Aus
Gleichung
(3a)
folgt
nämlich unmittelbar
ökJ=
0t
+
O,
-
4f]?Bmôxm.
dt
-
0.
m
Wir
können daher der
Gleichung
(4)
die
Gleichung
(5)
dtJ'
=
V=
0
zur
Seite stellen. Aus beiden
Gleichungen,
in
Verbindung damit,
daß
man aus
der
Superposition
einer
angepaßten
Variation und einer
reinen
Koordinatenvariation eine
beliebige
Variation der
yuv
erhält, folgt,
daß
für
eine
solche
beliebige
Variation
(6)
ÔJ'
=
ÔJ
ist.
Aus dieser
Gleichung
kann aber in
einfacher Weise
die
Kovarianz
der
Gleichung (V) gefolgert werden;
denn da die
dyuv
kontravariant,