DOC. 52 ON THE AFFINE FIELD THEORY 87 EINSTEIN : Zur affinen Feldtheorie 139 wobei * eine beliebige Funktion der beiden bekannten Invarianten des elektro- magnetischen Feldes bedeutet. Der im Sinne unserer bisherigen Kenntnisse natürlichste Ansatz lautet (ioa) Ersetzt man die linken Seiten der Gleichungen (I), (2) auf Grund der Gleichungen (9) und (10a), die rechten Seiten auf Grund der Gleichungen (8) durch Ausdrücke in den Feldgrößen, so erhält man die Gleichungen K, - *9., = - ƒ.,ƒƒ+ 9.,f,rf”j + ý t„«„J (11 ) - I / 9i dt, \ “"6 Txj' (l2) Die Gleichungen (6), (11) und (12) sind die Feldgleichungen der hier ent- wickelten Theorie. Bisher haben wir fur die Feldstärken des metrischen und elektrischen Feldes Einheiten unbekannter Größe verwendet. Beim Übergang zum Gramin- Zentimeter-System nehmen die Feldgleichungen die Form an - *9.. = -x -^-0., ƒ„ /”j +-g- i.i.j (na) _ 1 Í 3 ». 3 », \ ß 9»J’ (l2a), wobei «e und ß andere Konstante bedeuten x ist die Gravitationskonstante. Diese Feldgleichungen lassen sich in die Form eines HAMILTONSchen Prinzipes bringen, in welchem nach dem metrischen Tensor und der elektrischen Feldstärke variiert wird. Seine HAMILTONsche Funktion 6 ist gegeben durch $ = V-g ze- 2* -H x - -L t,rjj. (13) R bedeutet hierbei den aus den g„r gebildeten RIEMANNSChen Krümmungs- skalar. Zum Beweise drückt man £ am bequemsten durch die Tensordichten f*' und g“’ und die zu letzteren Größen gehörigen normierten Unterdeter- minanten aus und variiert nach den f*' und g“v. Für die physikalische Interpretation der Feldgleichungen (11a), (12a) ist es wohl am dienlichsten, das elektromagnetische Potential -¿=r- (14) einzufuhren, welches gemäß (12a) mit der Stromdichte durch die Gleichung i-=-0g (15) zusammenhängt, (11a) nimmt dann die Form an K'-*9.' = - * [(-ƒ.,/: + ^ÍZ.. ƒ„ ƒ "j + ßfj\. 16)( [7] [8]
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