86 DOC. 52 ON THE AFFINE FIELD THEORY 138 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse vom 31. Mai 1923 wobei g“" „ die kovariante Erweiterung der Tensordichte g“' gemäß der Gleichung 9 « = _ ^8*" 3æ„ + + 9“T (5) und i“ die als Stromdichte zu deutende Tensordichte t“ = (6) ist. Wir führen als metrischen Tensor gr„„ bzw. g“" den Tensor ein, welcher zur symmetrischen Tensordichte g“’ gehört, gemäß den Gleichungen g“”= g“"V~-g # = l#.,l- 9.X' = K [4] [5] Dieser Tensor wird wie in der RIEMANNSchen Geometrie verwendet, um von kovarianten Tensorcharakteren zu kontravarianten überzugehen und umgekehrt. In diesem Sinne gehören zur Stromdichte i“ der kontravariante Tensor »“ und der kovariante i„ zur Felddichte f*' der kontravariante Feldtensor ƒ*’ bzw. der kovariante ƒ„,. Vermittels solcher Operationen gelingt es in bekannter Weise, die Glei- chungen (4) nach den V", aufzulösen, wobei man erhält: I“ = Çò9,s, \dxv 3&¿ dg\ 3ru 3xa ) 9.X -b‘i“v - 6 6 (8) Ferner bemerken wir, daß gemäß (3a) g“' und f“' Funktionen der und pu, sind, derart, daß g mmdy„+^df„ ein vollständiges Differential ist. Daraus folgt, daß auch y.Xr+t.'df ein vollständiges Differential sein muß einer Größe 5* (skalare Dichte), welche wir als Funktion der g" und f*' dargestellt denken wollen. Es ist also zu setzen y., P., 35* 39“' 35* 3r, (9) wobei die Gleichungen (9) die Gleichungen (3a) vollkommen zu ersetzen ver- mögen. Wir haben nun nur noch die skalare Dichte 6* in Funktion der f“’ und g“” so zu wählen. Der allgemeinste mögliche Ansatz lautet (10) [6]