DOC.
25 FOUNDATIONS
OF
GENERAL THEORY 575
Physik.
Zeitschr.
XV,
1914.
Einstein,
Relativitätstheorie und Gravitationstheorie.
179
[15]
sind,
habe
ich mehrfach
dargelegt.
Man
frägt:
Was für Differentialausdrücken
aus
den
guv
sind
die
£uv gleichzusetzen,
damit die
Gleichungen
(4)
in
die
Gleichungen
(5)
übergehen,
wenn
ich in
die rechten Seiten
von (4)
für die
Euv
ihre
Aus-
drücke in den
guv
einsetze? Diese
Fragestellung
führt
zu
den
Differentialgleichungen
[16]
tt
3
11
=
x
(X", -j-1,".),
wobei
gesetzt
ist
-
2xt,iv
=
\
-
g
.i r
-1
Vrf.av ügrfüyre
y\t
3
2
0 Xu d X
it
3
r
(,
(6)
Hierbei ist
gov
=
1
oder
o,
je
nachdem
0
=
v
oder
o
\
v
ist.
Daß diese
Gleichungen
linearen
Transformationen
gegenüber
kovariant
sind,
ist
leicht
zu
zeigen.
Es
ist
zweifellos,
daß diesen
Gleichungen
eine,
wenn
auch
geringere
Zahl
von
allgemein
kovarianten
Gleichungen
entspricht,
deren Auf-
stellung
aber weder
vom
physikalischen
noch
vom
logischen Standpunkte
von
besonderem
Interesse
ist, wie
aus
den
unter 8
gegebenen
Überlegungen
deutlich
hervorgeht.
Prinzipiell
wichtig
aber
ist
uns
die
Erkenntnis,
daß den
Gleichungen
(6)
entsprechende allgemein ko-
variante existieren
müssen. Denn
nur
in diesem
Falle
war es
gerechtfertigt,
die
Kovarianz der
übrigen Gleichungen
der Theorie
beliebigen
Substitutionen
gegenüber
zu
fordern.
Es
ent-
steht andererseits die
Frage,
ob
jene
anderen
Gleichungen
durch die
Spezialisierung
des
Bezugs-
systems
keine
Spezialisierung
erfahren. Dies
scheint
im
allgemeinen
nicht
der
Fall
zu
sein.
10.
Aus der vorstehenden
Darstellung
der
Grundlagen
der
Theorie erkennt
man,
daß
zu
deren
Begründung irgendwelche
spezielle
An-
nahmen nicht benutzt werden
müssen. Daß
dies
gemäß
der neulich
von
Mie
in
dieser
Zeitschrift
gegebenen Darstellung
anders
ist,
rührt
daher,
daß Mie
nur
die
kovarianten-
theoretischen Forderungen der
gewöhn-
lichen
Relativitätstheorie
als
heuristisches
Hilfsmittel
benutzt,
daß
er
also
die
a
priori
bevorzugten Bezugssysteme
einführt. In dieser
[17]
Weise
betrachtet,
hat
die
von
mir
vertretene
Theorie tatsächlich
eine
recht
geringe
Daseins-
berechtigung!
Ich hoffe
aber,
durch die
vor-
liegende Betrachtung
meine
Auffassungsweise
klar
gemacht
zu
haben.
11.
Ich
komme endlich
noch
einmal auf
den
Satz
von
der
Identität der
trägen
und
schweren Masse und auf den
Zusammenhang
von
Masse und
Energie
zurück.
[18]
Der
negativ genommene Impuls
eines
mate-
riellen Punktes bildet
zusammen
mit dessen
Energie
einen kovarianten
Vierervektor
mit den
Komponenten
^-71
dxr
,nZds
V
Ebenso
bildet1)
der
negativ genommene Impuls
zusammen
mit der
Energie
eines
vollständigen
physikalischen Systems
den kovarianten Vierer-
vektor
J
(-*-»4
~r
*bj}
d
\
.
Hieraus
folgt sofort,
daß
die
Trägheitseigen-
schaften eines
abgeschlossenen Systems die-
selben sind
wie die
eines materiellen Punktes,
daß
also
das
System
durch einen
materiellen
Punkt
ersetzbar ist
(als
Ganzes).
Um die Gesamt-
masse
des
abgeschlossenen Systems
in
einfacher
Weise
darzustellen,
bilden
wir
die
Komponenten
dieser beiden Vierervektoren für den Fall, daß
das
Bezugssystem in
der Weise
gewählt ist,
daß der materielle Punkt relativ
zu
ihm
ruht,
und daß die
guv
im
Unendlichen dieselben Werte
haben
wie
bei
der
gewöhnlichen
Relativitäts-
theorie. Bei
dieser
Wahl des
Bezugssystems
haben
die beiden einander
gleichzusetzenden
Vektoren die
Komponenten
m
2
ö rr
"
y
o
991 C
ds
Sl%"4+K,4)/V
S
l-i-U
+
*14,!
S
1
^24
+
*24
!
1
J"(*34
+
tU4,i
S
'•
-*44
+
*44
,l
'
Hieraus ist
ersichtlich,
daß die Masse des
Systems gleich ist
der
so
gemessenen,
mit
c
dividierten
Gesamtenergie
des
Systems. c
ist
dabei die
Vakuumlichtgeschwindigkeit
im
Unend-
lichen
(c
=yg44), welche
übrigens beliebig
an-
genommen
werden
kann,
indem
sie
von
der
Wahl des
Bezugssystems
abhängt,
soweit
diese
oben
noch nicht
festgelegt
ist.
Daß auch die schwere Masse eines
abge-
schlossenen
Systems in
dem
angegebenen
Sinne
der
Energie
des
Systems
gleich
ist,
falls
das
System ein
stationäres ist, erhellt unmittelbar,
wenn man
die
Gleichungen
(6)
über ein sehr
großes,
das
System
enthaltende Volumen
inte–
1)
Diese Zeitschr. 15,
108,
1914.
[19]