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260 Entw.
e.
verallgem.
Relativitätstheorie
usw.
II. Math. Teil. Von
M.
Grossmann.
Bemerkungen.
[1]
Zu
g
5 und
§
6.
Beim Niederschreiben der Arbeit haben
wir
es
als
einen
Mangel
der
Theorie
empfunden,
daß
es
nicht
gelungen ist,
Gleichungen
für das Gravitationsfeld
aufzustellen,
welche
allgemein,
d.h.
beliebigen
Substitutionen
gegenüber,
kovariant
sind.
Nachträglich
fand
ich
aber,
daß
Gleichungen,
welche
die
yuv
eindeutig
aus
den
Quv
be-
stimmen,
und welche
allgemein
kovariant
sind,
überhaupt
nicht
exi-
stieren
können;
der Beweis hiefür
ergibt
sich
wie
folgt.
[2]
Es
gebe
in
unserer
vierdimensionalen
Mannigfaltigkeit
einen Teil
L, in
welchem ein
"materieller
Vorgang"
nicht
stattfinde,
in welchem
also
die
Quv
verschwinden. Durch
die
außerhalb L
gegebenen
Quv
sind
gemäß unserer
Annahme
überall,
also auch
im
Innern
von
L
die
yur
vollkommen bestimmt. Wir denken
uns
nun
statt der
ursprünglichen
Koordinaten
xv
neue
Koordinaten
x'v
eingeführt
von
folgender
Art.
Außerhalb
L
sei
überall
xv
=
x'v;
innerhalb L aber
sei
wenigstens
für
einen Teil
von
L und
wenigstens
für einen Index
v xv # x'v.
Es ist
klar,
daß
durch
eine
derartige
Substitution erreicht werden
kann,
daß
wenigstens
für einen Teil
von
L
y'uv
#
yuv
ist.
Andererseits ist überall
@'uv
=
Ouv,
nämlich außerhalb
L,
weil
für
dieses
Gebiet
x'v
=
xv
ist,
[3]
innerhalb
L
aber,
weil
für
dies
Gebiet
0uv
=
0
=
Q'uv
ist. Hieraus
folgt,
daß in dem
betrachteten
Falle,
wenn
alle Substitutionen als
berechtigte
zugelassen werden,
zu
dem
nämlichen
System
der
Ouv
mehr als ein
System
der
yuv
gehört.
Wenn
also
-
wie dies in
der Arbeit
geschehen
ist
-
an
der For-
derung festgehalten wird,
daß durch
die
®ur
die
yuv
vollständig
be-
stimmt
sein
sollen,
so
ist
man genötigt,
die
Wahl
des
Bezugssystems
einzuschränken.
Diese Einschränkung
wird
in
unserer
Arbeit dadurch
erzielt,
daß für den materiellen
Vorgang
und das Gravitationsfeld
zu-
sammen
die
Gültigkeit
der
Erhaltungssätze,
d.
h. die
Gültigkeit
von
[4]
vier
Gleichungen von
der Gestalt der
Gleichungen (19) postuliert
wird.
Aus
diesem Postulat sind
ja
in
§
5 die
Gleichungen (18)
des
Gravita-
tionsfeldes
abgeleitet.
Die
Gleichungen (19)
sind
nur
linearen
Transformationen
gegen-
über
kovariant,
so
daß
also
in der entwickelten
Theorie
nur
lineare
Transformationen als
berechtigte
Transformationen anzusehen
sind.
Wir
können
also die
Achsen solcher
Systeme
als
"gerade
Linien",
die
Koor-
dinatenflächen als
"Ebenen"
bezeichnen. Es
ist
sehr
bemerkenswert,
daß die
Erhaltungssätze uns
in
den
Stand
setzen,
die
gerade
Linie
physikalisch
zu
definieren,
trotzdem
es
nach
unserer
Theorie keinen
Gegenstand
oder
Vorgang gibt,
der unmittelbar als
Modell
der
geraden