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DOC.
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FORMAL
FOUNDATION OF RELATIVITY
Einstein:
Die formale
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitatstheorie.
1039
Man
nennt diese
Operation
»außere
Multiplikation«,
das Resultat
»äußeres Produkt«
der Tensoren.
Man sieht,
daß
es
bei dieser
Opera-
tion
auf
Charakter
und
Rang
der
zu »multiplizierenden«
Tensoren
nicht
ankommt.
Es
gilt
ferner das kommutative
und
das assoziative
Gesetz
für eine
Sukzession solcher
Operationen.
Inneres Produkt
von
Tensoren.
Die
in
Formel(3b)angegebene,
mit
den Tensoren ersten
Ranges
Av
und
Av
vorgenommene Operation
nennt
man
»innere
Multiplikation«,
das Resultat »inneres
Produkt«.
Diese
Operation
läßt
sich
infolge
der Darstellbarkeit
von
Tensoren
höheren
Ranges
aus
Vierervektoren
leicht auf
Tensoren
erweitern.
Ist
z.
B. AuBy...
ein
kovarianter,
AuBy...
ein kontravarianter Tensor
vom gleichen
Range,
so
ist
^
(A^.. A*
~) =
*
«0y
ein Skalar. Der Beweis
ergibt
sich
unmittelbar,
wenn man
setzt
A«sy...
A*
-
=^A'B*&
hierauf
ausmultipliziert
und
(3b) berücksichtigt.
Gemischtes Produkt
von
Tensoren.
Die
allgemeinste
Multi-
plikation von
Tensoren
erhält
man,
wenn man
letztere nach
gewissen
Indizes
äußerlich,
nach andern innerlich
multipliziert.
Aus den Ten-
soren
A
und
B erhält
man
einen Tensor
C
gemäß folgendem
Schema
..
«79V
Der Beweis
dafür,
daß C ein Tensor
ist,
ergibt
sich
durch
Kom-
bination der beiden zuletzt
angedeuteten
Beweise.
§
6.
Über
einige
den Fundamentaltensor
der
guv
betreffende
Beziehungen.
Der
kontravariante
Fundamentaltensor.
Bildet
man
in dem
Determinanten-Schema
der
guv
zu jedem
guv
die Unterdeterminante
und
dividiert diese durch die Determinante
g
=
|guv|
der
guv,
so
erhält
man
gewisse
Größen
guv
(=
gvu),
von
denen wir beweisen
wollen,
daß sie
einen kontravarianten
symmetrischen
Tensor
bilden.
Aus dieser Definition und
einem
bekannten
Determinantensatze
folgt
zunächst
=
*;
(10)
r