DOC. 9 ENERGY CONSERVATION
71
Einstein:
Der
Energiesatz
in
der
allgemeinen
Relativitätstheorie 455
u1
=
R
cos
d1
u2 =
R
sin
d1
cos
d2
u3
=
R
sin
d1
sin
d2
cos
d3
u4
=
R sin
d1
sin
d2
sin
d3
(13)
Drehen
wir
das
uv-System
um
den
Mittelpunkt
der
Sphäre,
so
dreht
sich das
dv-System
mit,
und
es gelten
die
Beziehungen
(13)
auch
für
die
Systeme
in
der
gedrehten
Lage.
Es lassen sich in einem
euklidischen
Raume
stets
Drehungen
des
kartesischen
Koordinatensystems
ausführen, bei welchen sich
nur
zwei der
Achsen
bewegen,
die
übrigen
aber
fest bleiben.
Unter
diesen
Drehungen
sind
solche
um
den
Winkel
r ausgezeichnet,
welchen
Substitutionen
vom
Typus
=
-
u1
u12 =
-u2
K
= «,
*«
= »,
(14)
entsprechen.
Eine solche ist auch die
Substitution
U1
=
-
u1
=
u13
u2
=
u13
u3
u14
-
u4
(15)
(14)
bzw.
(15)
liefern mit Rücksicht
auf
(13)
und
die
entsprechenden
Gleichungen
für
das
gestrichene
System
unmittelbar die Substitutionen
(10)
bzw.
(10a),
welche demnach
durch
stetige
Änderungen
des
gv
Systems erzeugt
werden
können.
Damit
ist der
verlangte
Beweis
geleistet
(abgesehen
vom
Nach-
weis fur die
Erfüllung
der
»Randbedingung«).
Für
die
geschlossene
Welt
als Ganzes
verschwindet
der
Impuls;
der Wert der
Gesamtenergie
ist
von
der
Zeit
und
von
der Koordinatenwahl
unabhängig.
§
4. Die
Energie
der spharischen Welt.
Wir
wollen
nun
die
Uvr
für eine
sphärische
Welt
mit
gleichförmig
verteilter,
inkohärenter
Materie berechnen,
hauptsächlich
um zu
prüfen,
ob
wenigstens
in
diesem einfachsten Falle die
Bedingung
(9)
erfüllt
ist,
an
welche die
Ergebnisse
des
vorigen
Paragraphen geknüpft
sind.
Wir
haben
zu
setzen
Uvr=
z-f-(t,),-f-(tj!),,
(16)
wobei die
(tuv)1
dem A-Gliede
entsprechen,
die
(tuv)2
Funktionen der
guv
sind.
Die
Formel