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statt zweier Systeme paralleler Geraden zur Koordinatendefinition zweier Systeme
beliebiger Kurvenschaaren, die nur die Eigenschaft haben sollen, dass durch jeden
Punkt der Fläche nur eine Kurve jeder Schaar hindurchgeht. Die Kurven jeder
Schaar werden numeriert, sodass ástetigñ benachbarten Kurven auch benachbarte
Zahlen zugeordnet werden. Durch jeden Punkt der Fläche gehen dann zwei nume-
rierte Kurven, jede aus einer Schaar, hindurch, deren Nummern wir als „Koordina-
ten“ bezeichnen. Dies Gauss’sche Koordinatensystem ist—anschaulich
gesprochen—nichts anderes, als ein beliebig verzerrtes und verbogenes ebenes
kartesisches Koordinatensystem. Dies Verbiegen bringt es aber mit sich, dass den
Gauss’schen Koordinaten keinerlei physikalische Bedeutung mehr zukommt. Sie
stellen nichts mehr dar als eine zwar die Stetigkeit wahrende, sonst aber völlig will-
kürliche Nummerierung der Punkte der Fläche.
Trotzdem drückt sich der Abstand ds zweier benachbarter Punkte der
Fläche nach einem bestimmten Gesetze durch die Koordinaten-Differenzen
aus. Es ist nämlich ein unendlich kleines Flächenstück in erster Näherung
stets wie ein Element einer Ebene zu betrachten; und es existiert für dies Element
ein lokales kartesisches Koordinatensystem sodass man hat
.
Ersetzt man die lokalen kartesischen Koordinaten durch die Gauss’schen
so erhält man hieraus durch eine einfache Überlegung
. . . (13)
Hierbei sind die etc. Funktionen von und welche einerseits durch die
Wahl der Gauss’schen Koordinaten, andererseits aber auch durch die Wahl der Flä-
che bedingt sind, deren geometrische Gesetze wir studieren wollen. Sind die Funk-
tionen etc bekannt, so sind dadurch auch die Mass-eigenschaften der Fläche
gegeben.
Die Gleichung (13) ist die Gauss’sche Verallgemeinerung des euklidischen py-
thagoreischen Lehrsatzess. Sie geht im Falle der Ebene für kartesischer Koordina-
ten in die für die euklidische Ebene charakteristische
Form
über.
Bei dieser ganzen Betrachtung ist es unwesentlich, dass die betrachtete Fläche
einem dreidimensionalen euklidischen Raum angehört und dass sie—in diesem be-
trachtet—gekrümmt ist. Wesentlich ist nur, dass wir ein zweidimensionales Konti-
nuum vor uns haben, dessen Mass-Gesetze im Unendlichkleinen euklidisch sind,
im Endlichen aber von dieser Norm abweichen. Das metrische Verhalten infinite-
simaler starrer Stäbchen auf einer krummen Fläche ist—zweidimensional betrach-
x1, x2 ( )
P1, P2
dx1, dx2
X1, X2 ( ),
ds2 dX1 2 dX2 2 + =
x1, x2 ( )
ds2 g11dx1 2 2g12dx1dx2 g22 dx2 2 + + =
g11 x1 x2 ,
[p. 31]
g11
g11 g22 1; g12 0) = = = (
ds2
dx1
2 dx22
+ =