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tet—nichteuklidisch, trotzdem das Stäbchen im dreidimensionalen Raume die Rol-
le einer Strecke im Sinne der euklidischen Geometrie von drei Dimensionen
spielen soll.
Es ist wohl zu bachten, dass das euklidische oder nichteuklidische Verhalten
nicht eine Eigenschaft der Fläche allein, sondern gewisser Messstäbchen inbezug
auf die Fläche ist. Die sub (19) betrachtete Scheibenfläche ist z. B. für mitrotieren-
de Messstäbchen nicht-euklidisch, für nicht mitrotierende dagegen euklidisch.
Geometrische Aussagen betreffen eben immer die Lagerungsmöglichkeiten starrer
Körper.
Riemann hat nun diese Betrachtungen auf Kontinua von drei und mehr Dimen-
sionen ausgedehnt. Dies ist ohne Weiteres möglich wenn man bedenkt, dass die
ganze obige Überlegung unabhängig war von der Voraussetzung, dass die betrach-
tete Fläche einem dreidimensionalen euklidischen Raume angehöre. Es liege also
etwa ein dreidimensionaler Raum vor, von der Eigenschaft inbezug auf starre Stäb-
chen bestimmter Art, dass letztere sich nur im Unendlich-Kleinen, nicht aber im
Endlichen nach den Gesetzen der euklidischen Geometrie gruppieren lassen. Dann
gibt es nicht Koordinaten (im Endlichen), durch welche sich der mit den Stäbchen
gemessene Elementarabstand benachbarter Punkte gemäss der Formel
darstellen liesse. Numeriert man aber die Punkte des Raumes unter Wahrung der
Stetigkeit beliebig durch drei „Gauss’sche Koordinaten“, so drückt sich in diesen
das Abstandsquadrat aus durch die Form
(14)
Die Grössen welche selbst von den Koordinaten abhängen, beschrei-
ben die Lagerungsmöglichkeiten „starrer“ Massstäbchen in dem betrachteten Rau-
me vollständig. Aus ihnen müssen sich die metrischen Eigenschaften aller in die-
sem Raume mit unseren Stäbchen definierbarer Gebilde rein rechnerisch ableiten
lassen.
Die so gewinnbaren theoretischen Formeln sind insofern von grosser Allge-
meinheit der Formulierung, als sie nicht wie diejenigen der euklidischen Geome-
trie nur für bestimmte Koordinatenwahl (kartesische Koordinaten) gelten, sondern
für beliebige Koordinaten. Führt man statt der ursprünglichen Gauss’schen Varia-
beln beliebige Funktionen dieser Grössen als neue Koordi-
naten ein, so gelten für diese genau entsprechende Formeln. Die unter Benutzung
allgemeiner Gauss’scher Koordinaten formulierten Sätze sind—mathematisch aus-
gedrückt—bezüglich beliebiger Transformationen der Koordinaten kovariant.
ds2
dx1
2
dx2
2 dx32
+ + =
ds2 g11dx1 2 g22dx2 2 g33 dx3 2 + 2g12dx1dx2 + + + =
2g13dx1dx3 2g23dx2dx3; +
[p. 32]
g11 x1, x2, x3
x1, x2, x3 x′1, x′2, x′3