P O P U L A R P R I N C E T O N L E C T U R E S 6 1 1
gesucht die Geometrie dieser Flaeche, das bedeutet folgendes: Wir denken uns starre Staeb-
chen, sagen wir wieder eine sehr grosse Zahl gleichbeschaffener Federstaebchen, und wenn
wir fragen nach der Geometrie auf der Flaeche. Wir wollen die Gesetze kennen lernen, nach
denen diese vielen kleinen gleichbeschaffenen starren Staebchen auf diese Flaeche gelegt
werden koennen. Diese Aufgabe soll nun behandelt werden nach einer ganz bestimmten
Methode, und das ist das wesentliche. Man soll bei der theoretischen Beschreibung dieser
Lagerungsmoeglichkeiten dieser starren Staebchen keine geometrischen Begriffe verwen-
den, welche sich irgendwie auf Raumpunkte ausserhalb dieser Flaeche beziehen, man soll
mit in der Flaeche bleiben. Man frage also, ohne irgendwelche Begriffe zu verwenden, die
den Raum ausserhalb der [ ] Wie kann man erfahren [ ? ]
Wenn es sich um eine Ebene handelt, ist es sehr einfach, da macht man es in der E’schen
Geometrie so, man legt ein kartesisches [ ] und die einzelnen Punkte werden durch die
Abzaehlung der Gittermaschen bestimmt. 5 Maschen nach rechts und 2 4 6 Maschen nach
oben und diese Maschenzahlen sind die Koordinate. Dadurch koennen wir die Lage der ein-
zelnen Punkte in einer solchen Weise beschreiben, dass durch die Zahlen ausgedrueckt
wird, wo der Punkt liegt. Wir koennen also sagen, die Verwendung kartesischer Koordina-
ten bringt es mit sich, dass die — — — — [ ] physikalische bezw. metrische Bedeu-
tung. So kann man mit einem Massstaebchen diesen Punkt finden. Wenn wir aber in aehn-
licher Weise vorgehen wollten auf einer grossen Flaeche, geht es nicht, und deswegen nicht,
weil wir solche quadratischen Gitter auf der grossen Flaeche nicht machen koennen. Wir
koennen sagen, wenn wir uns auf die Flaeche selbst beschraenken, so gelten die Lagerungs-
gesetze der E’schen Geometrie nicht auf der Flaeche. Ich will dies noch etwas naeher aus-
fuehren. Wenn wir ein kleines Quadrat auf diese Flaeche legen so wird das mit vier kleinen
Staebchen gehen und wir werden [ ] Solange wir uns auf einem sehr kleinen Stueck-
chen der Flaeche bewegen geht alles gut, wenn wir aber ein groesseres Stueck ausfuellen,
geht es schlechter. Die Quadrat-Konstruktion, welche uns zu dem kartesischen Koordinaten
System fuehrt, ist nicht ausfuehrbar. Wir haben hier denselben Fall den wir in [ ] hat-
ten, im Falle eines Gravitationsfeldes. Wir sind nicht mehr imstande, die Raumpunkte so
zu definieren, dass wir in einer einfachen Weise durch Messungen die Bedeutung der Ko-
ordinaten festlegen koennen. Wir koennen nicht mehr jene Elementar-Konstruktur in me-
trisch [ ] Nun hat Gaus folgende Methode eingeschlagen. Er macht davon Gebrauch:
1) dass bei einem kleinen Stueck einer solchen Flaeche immer noch die E’sche Geome-
trie der Ebene eine Rolle spielt und
2) nachdem wir gesehen haben, dass es kein derart metrisch sinnvolles Koordinatensy-
stem auf der Flaeche gibt, hat Gaus den Weg eingeschlagen, man lege ganz beliebige Kur-
vensysteme auf die Flaeche und numeriere die Kurven jedes Systems. Jetzt kann man na-
tuerlich durch Angabe von 2 Zahlen, wenn man angibt, wieweit die Kurven dieses Systems
[ ] so hat man diesen Punkt mit Zahlen so geordnet. Aber allerdings diesen Zahlen
kommt an und fuer sich keine bestimmte metrische Bedeutung zu. Ich kann nicht ohne wei-
teres sagen, wenn ich von irgend einem Punkte hier ausgehe, und ich weiss die Koordinaten
dieses Punktes waeren 4 und 2, so kann ich dagegen diesen Punkt unmoeglich konstruieren,
weil ich ja nicht weiss, wie die Kurven auf der Flaeche gezogen sind. Aber es zeigt sich,
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