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DOC. 13 GENERALIZED
THEORY OF RELATIVITY
Ableitung
der
Gravitations-Gleichungen 13
ein kontravarianter Tensor
vom
Range
n
-
1 bezüglich
linearer Trans-
formationen
(Divergenz).
Führt
man an
einem
Tensor der
Reihe nach
diese
beiden
Opera-
tionen
aus,
so
erhält
man
einen
Tensor,
der wiederum
vom
gleichen
Range
ist,
wie
der
ursprüngliche (Operation
z,
an
einem Tensor
vor-
genommen).
Für
den
Fundamental-Tensor
yuv
erhält
man
[27] (a)
2jsxu
aft
'
Daß
dieser
Operator
mit
dem
Laplaceschen
Operator
verwandt
ist,
erkennt
man
ferner durch
folgende Betrachtung.
In der Relativi-
tätstheorie
(Fehlen
des
Gravitationsfeldes),
wäre
zu
setzen
ffu
= ff22
=
ff33
=
1
ffu
=
°2
ff/u
v
=
^ ^
v
5
also
1
Yn
=
Ya
=
7a
=
~
1 Vu
=
^ 3^,
=
°
für
^
+
v.
Ist
ein Gravitationsfeld
vorhanden,
welches
genügend
schwach
ist,
d. h.
unterscheiden sich die
guv
und
yuv
von
den soeben
angegebenen
Werten
nur
unendlich
wenig,
so
erhält
man an
Stelle des
Ausdruckes
(a)
unter
Vernachlässigung
der Glieder
vom
zweiten Grade
idhti
_i_
dhtLv
-
_
.1
.
\ dx\ '
dx\
'
dx\
c*
dx\)
Ist
das
Feld
ein
statisches und
nur
g44
variabel,
so
kommen
wir
also auf den Fall der
Newtonschen
Gravitationstheorie,
falls wir
den
[28]
gebildeten
Ausdruck bis auf
eine
Konstante für
die Größe
Tuv
setzen.
Man
könnte demnach
denken,
es
müsse
der Ausdruck
(a)
bis
auf
einen konstanten
Faktor
bereits
die
gesuchte
Verallgemeinerung von
Jp
sein. Dies
wäre aber ein
Irrtum;
denn
es
könnten
neben
jenem
Ausdruck noch
solche
Terme
in
einer
derartigen Verallgemeinerung
auftreten,
die
selbst Tensoren sind und
bei
Durchführung
der eben
an-
geführten Vernachlässigungen
verschwinden. Es tritt
dies
immer dann
ein, wenn
zwei
erste
Ableitungen
der
guv
bzw.
yuv
miteinander multi-
pliziert
erscheinen.
So
ist
z.
B.
S?dgaii
^
dyaj
dx dx1
a
ft
f-1
ein kovarianter Tensor zweiten
Ranges
(gegenüber
linearen Transfor-
mationen);
derselbe wird unendlich klein zweiter
Ordnung,
wenn
die
Größen
gaB
und
yaB
von
Konstanten
nur um
Unendlich-Kleine erster
Ordnung
abweichen.
Wir
müssen daher
zulassen,
daß
in
Juv
neben
(a)
noch andere Terme
auftreten,
die
vorläufig
nur
die
Bedingung
erfüllen