1 9 4 D O C . 1 2 2 T H E A F F I N E F I E L D T H E O R Y
122. The Affine Field Theory
[Berlin, before 22 September
1923][1]
Die affine Feldtheorie
Die hier zu skizzierende Theorie des Zusammenhanges zwischen Gravitation
und
Elektromagnetismus[2]
ruht auf ¢einem² dem von Eddington in den letzten Jah-
ren publizierten Gedanken, die ¢Theorie des Feldes² Feldphysik mathematisch auf
die Theorie des affinen Zusammenhanges zu
gründen.[3]
Es sei hier die ganze,
durch die Namen Levi-Civita, Weyl, Eddington gekennzeichnete Gedanken-
Entwicklung kurz
betrachtet.[4]
Die allgemeine Relativitätstheorie ruht formal auf der Riemannschen Geome-
trie, welch letztere all ihre Begriffe auf den des Abstandes ds unendlich benachbar-
ter Punkte gründet gemäss der
Formel[5]
(1)
Diese Grössen ¢drücken² bestimmen das Verhalten von Massstäben und Uhren
mit Bezug auf das Koordinatensystem sowie das Gravitationsfeld. Insofern kann
man sagen, dass die allgemeine Relativitätstheorie aus ihrem Fundament heraus
das Gravitationsfeld erklärt. Dagegen hat das gedankliche Fundament der Theorie
keine Beziehungen zum elektromagnetischen Felde.
Diese Sachlage legt die Frage nahe: kann das mathematische Fundament der
Theorie nicht so verallgemeinert werden, dass aus ihm nicht nur die Eigenschaften
des Gravitationsfeldes sondern auch diejenigen des elektromagnetischen Feldes
abgeleitet werden können?
Die Möglichkeit einer Verallgemeinerung des mathematischen Fundamentes er-
gab sich daraus, dass Levi-Civita in der Riemannschen Geometrie ein Element
aufzeigte, das sich von dieser unabhängig machen liess, nämlich der „affine Zu-
sammenhang“. Gemäss der Riemannschen Geometrie kann nämlich jeder unend-
lich kleine Teil der Mannigfaltigkeit durch eine euklidische approximiert werden.
Es existiert also in diesem Teilgebiet der Begriff der Parallelität. Zu einem kontra-
varianten Vektor im Punkte wird der durch Parallelverschiebung nach dem
unendlich benachbarten Punkte entstehende Vektor bestimmt
durch einen Ausdruck von der Forme
(2)
Die Grössen Γ sind in den unteren Indices symmetrisch und drücken sich ge-
mäss der Riemannschen Geometrie aus den und ihren ersten Ableitungen aus
(Christoffelsche Symbole zweiter Art). Man erhält [diese] Ausdrücke durch For-
ds2 gμνdxμdxν =
gμν

δxν + δAσ +
δ Γμν σ Aμδxν –=
gμν
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