D O C U M E N T 4 1 7 O N G E N E R A L R E L A T I V I T Y 6 6 3 Integrals verschwinden soll für alle möglichen Variationen der Grössen . Man erhält dann 40 Differentialgleichungen für die 40 Grössen , zwischen welchen vier identische Relationen bestehen. Die Existenz solcher Invarianten lässt sich wie folgt einsehen. Nach der Rie- mannschen Theorie ist in einer Mannigfaltigkeit von 4 Dimensionen ein Tensor, wenn g die Determinante der und eine Grösse ist, die ver- schwindet, wenn nicht alle vier Indizes ein antisymmetrischer kontravarianter Tensor vom Range 4, dessen Komponenten alle den absoluten Betrag haben. Durch Multiplikation mit entsteht die vom Fundamentaltensor unabhängige Tensordichte . Aus dieser und dem Riemannschen Krümmungstensor lassen sich nicht verschwin- dende skalare Dichten bilden, z.B. . Bezeichnet I eine lineare Kombination solcher Skalar-Dichten, so liefert die Ha- miltonsche Gleichung ein System von 40 Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die Grössen . Interessant an diesem System erscheint es, dass es an Mannigfaltigkeiten von vier Dimensionen geknüpft ist.[11] Es erweist sich also in der That als möglich, eine vollständige Theorie aufzustel- len, welche im Eddingtonschen Sinne allein auf die Voraussetzung der Existenz ei- nes affinen Zusammenhanges der Vektoren, bezw. Linienelemente gegründet ist, und es wird nötig sein, an dem zentral-symmetrischen Falle ihre Vereinbarkeit mit der Erfahrung zu prüfen.[12] Ich glaube aber nicht, dass man auf diesem Wege zu ei- ner wirklichkeits-treuen Theorie gelangen wird denn die Eddingtonschen Integral- Invarianten haben keine Aehnlichkeit mit den Integral-Invarianten und Γαβ μ Γαβ μ δiklm –g ----------- gμν δiklm 1 –g --------- - –g δiklm Rii lm , Rιι, λμ δlmλμ Riι, lmRιi, λμδlmλμ δ Idτ 0= Γαβ μ [p. 5] giκRiκ –gdτ