6 8 8 D O C . 4 4 3 G E N E R A L R E L A T I V I T Y A N D M O T I O N E i n s t e i n und J. G Ro m m e r : Allgemeine Relativitätstheorie und Bewegungsgesetz 7 aber gesehen, daß nicht allen Lösungen der approximativen Gleichungen strenge Lösungen entsprechen. Nach den approximativen Gleichungen gibt es zum Beispiel eine Lösung, welche einem ruhenden Massenpunkte in einem homo- [24] genen Gravitationsfelde entspricht nach den strengen Gleichungen gibt es eine solche strenge Lösung nicht, wie w ir gesehen haben — wenigstens wenn wir die Singularitätsfreiheit des metrischen Feldes außerhalb des Massen- punktes fordern. W ir müssen deshalb nach zusätzlichen Bedingungen suchen, welchen Lösungen der approximativen Gleichungen entsprechen müssen, damit sie Annäherungen von strengen Lösungen scien. Diese aus den strengen Feld- gleichungen zu folgernden Bedingungen müssen sich auf das Feld in der un- mittelbaren Umgebung einer singulären W eltlinie beziehen. Hierfür bedürfen wir eines Oberflächensatzes, wie er ähnlich schon von H il be r t und K l e in [25] aufgestellt wurde. W ir gehen aus von der HAMILTONschen Funktion 3r 3r* \ 5 = 9“" y — 9^ + - j f - + r 0 r* - r* r ^ j = r (9) und leiten aus ihr die Feldgleichungen ab, indem wir nach den gμν und Γαμν [26] unabhängig variieren. Die Feldgleichungen lauten dann 3 = o , 36 3 36 \ 3r- 3 a , V 3 r . - ’ Diese Gleichung gilt für eine beliebige Variation der gμν und Γαμν, also auch für eine solche, wie sie durch bloße infinitesimale Transformation des Koor- dinatensystems erhalten werden kann (Transformationsvariation). Für eine solche verschwindet δ h , weil h/-g eine Invariante ist, und weil nach den Feldgleichungen h überall verschwindet. Ferner ist zu setzen + r . - (13) wobei ξσ ein infinitesimaler Vektor (mit den Ableitungen ξσ , α usw.) ist. Nach (9 ) hat man -g r^ = - 9 ^ : + ( r ^ + 9 ” ^)- (14) (10) ( 1 1 ) wobei Γαμυ die Ableitung δΓυα μ τ bedeutet. Multipliziert man (10) mit δgμν, (1 1 ) mit δΓαμυ, so erhält man nach einfacher Umformung die Gleichung (12 )