D O C . 4 4 3 G E N E R A L R E L A T I V I T Y A N D M O T I O N 687 6 Gesamtsitzung vom 6. Januar 19 7 γ verschwindet also auf der positiven wie auf der negativen z-Achse, wie es sein muß. Im Unendlichen ist die Metrik euklidisch. W ir betrachten nun den Fall, daß außer dem Felde, welches von der eben betrachteten Singularität herrührt, noch ein »äußeres« Feld vorhanden sei. W ir drücken dies aus, indem w ir setzen 'J' = ' z * (5 a ) Ψ sei ebenfalls Funktion von r und z allein, genüge der Gleichung (3) und sei in der Umgebung von r = z = o regulär. Dann können wir wegen der Axialsymmetrie setzen 4^ = «o + d ,z + G , (7) wobei G die Glieder vom zweiten und höheren Graden in r und z formal ver- einigt. Gleichung (4) bestimmt γ . Aus (4) ergibt sich, daß γ in der z-Achse längs dieser konstant ist, so- lange man sich auf e in e r Seite der bei z = o befindlichen Singularität befindet. W ir können daher auf der negativen z-Achse γ = 0 setzen, wie es nach dem Obigen erforderlich ist. Damit die Lösung außer im Punkte r = z = o regulär sei, muß aber γ auch längs der positiven z-Achse verschwin- den. Dies wird dann und nur dann der Fall sein, wenn das Integral ∫ dγ erstreckt über den in nebenstehender Skizze angedeuteten unendlich kleinen Halbkreis K (r2+ z2 = konst) verschwindet. Die Ausrechnung liefert die Bedingung1: z-y^ αx = 0 , ( 8) während sich für G keine Einschränkung ergibt. Damit bei Anwesenheit eines äußeren Feldes die Metrik in der Umgebung eines singulären Punktes regulär bleibe, muß also im singulären Punkte selbst die Feldstärke des äußeren Feldes verschwinden. In diesem Sinne ist die Gleichgewichtsbedingung in den Feldgleichungen enthalten. Man wird schon auf Grund dieses Ergebnisses zu der Überzeugung kommen, daß ganz allgemein das Bewegungsgesetz der Singularitäten in den Feldgleichungen enthalten sei. Dies wird im folgenden allgemeiner gezeigt werden. . l gl g al t r rfl at . Der allgemeine Gedanke, welcher den folgenden Überlegungen und Rech- nungen zugrunde liegt, ist folgender. Es ist wohlbekannt, daß den Gravi- tationsgleichungen lineare Differentialgleichungen entsprechen, deren Lösungen von den Lösungen der strengen Gleichungen in den tatsächlich in Betracht kommenden Fällen nur sehr wenig verschieden sind. Andererseits haben wir 1 Der Wert von γ auf der Oberseite ergibt sich 4αIm . In allen Fällen sind m und αI sehr klein gegen 1. Nennt man sie Größen erster »Ordnung«, so ist die Größe, welche die im all- gemeinen Falle auftretende Verletzung der Regularität der Metrik durch eine Größe von der zweiten Ordnung bestimmt. [19] [20] [21] [22] [23]