3 5 2 D O C . 2 1 6 R I E M A N N I A N G E O M E T R Y 218 Gcsamtsitzung vom 7. Juni 1928 Durch Umkehrung von (I) erhält man, wenn man mit hva die normierten Unter- determinanten der hva bezeichnet, ( I a) Für den Betrag A des Vektors (A) gilt dann wegen der Euklidizität der in- finitesimalen Gebiete die Formel [4] ( 2) Die Komponenten des metrischen Tensors guv stellen sich also in der Form dar (3) [5] wobei natürlich über a zu summieren ist. Bei festem a sind die h“ die Kom- ponenten eines kontravarianten Vektors. Es gelten ferner die Relationen ( 4 ) (5) [6] [7] wobei $ = I bzw. $ == O ist, je nachdem die beiden Indizes gleich oder ver- schieden sind. Die Richtigkeit von (4) und (5) folgt aus obiger Definition der hua als normierte Unterdeterminanten zu den hua. Der Vektor Charakter der hua folgt am bequemsten daraus, daß die linke, also auch die rechte Seite von (I a) bezüglich beliebiger Koordinaten-Transformationen für jede Wahl des Vektors (A) invariant ist. Das n-Bein-Feld wird durch n2 Funktionen hua bestimmt, während die R IEMANN-Metrik durch die nur Größen quq bestimmt wird. Die Metrik ist gemäß (3) durch das n-Bein-Feld, aber nicht umgekehrt letzteres durch erstere bestimmt. [8] [9] § 2. Fernparallelismus und Drehung'sinvarianz. Durch die Setzung des n-Bein-Feldes wird gleichzeitig die Existenz einer KIEMANN-Metrik und des Fernparallelismus zum Ausdruck gebracht. Seien nämlich (A) und (B) zwei Vektoren in den Punkten P bzw. Q, welche, be- zogen auf die. entsprechenden lokalen n-Beine, gleiche entsprechende Lokal- koordinaten haben (d. h. Aa = Ba), so sind sie als gleich (wegen (2)) und als »parallel« zu betrachten. Sehen wir als das Wesentliche, d. h. objektiv Bedeutungsvolle nur die Me- trik und den Fernparallelismus an, so erkennen wir, daß das n-Bein-Feld durch diese Setzungen noch nicht völlig bestimmt ist. Metrik und Parallelismus bleiben nämlich intakt, wenn man die n-Beine aller Punkte des Kontinuums ersetzt durch solche, die aus den ursprünglichen n-Beinen durch die nämliche Drehung her- vorgehen. Wir bezeichnen diese Ersetzbarkeit des n-Bein-Feldes als Drehungs- invarianz und bestimmen: Nur solche mathematische Relationen beanspruchen reale Bedeutung, welche drehungsinvariant sind. Bei festgehaltenem Koordinatensystem sind also die hua bei gegebener Metrik und gegebenem Parallelzusammenhang noch nicht völlig bestimmt es