D O C . 2 1 6 R I E M A N N I A N G E O M E T R Y 351 Einstein: RIEJA NN-Geometric mit A ufrechterhaltungd.Begriffes d. 1'ernparallelismius 217 RIEMANN-Greometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus. Von A. E i n s t e i n . D ie R IEM ANNSche Geometrie hat in der allgemeinen Relativitätstheorie zu einer physikalischen Beschreibung des Gravitationsfeldes geführt, sie liefert aber keine Begriffe, die dem elektromagnetischen Felde zugeordnet werden können. Deshalb ist das Bestreben der Theoretiker darauf gerichtet, natür- liche Verallgemeinerungen oder Ergänzungen der R IEMANNs c h e n Geometrie auf- zufinden, welche begriffsreicher sind als diese, in der Hoffnung, zu einem logischen Gebäude zu gelangen, das alle physikalischen Feldbegriffe unter einem einzigen Gesichtspunkte vereinigt. Solche Bestrebungen haben mich zu einer Theorie geführt, welche ohne jeden Versuch einer physikalischen Deu- tung mitgeteilt werden möge, weil sie schon wegen der Natürlichkeit der ein- geführten Begriffe ein gewisses Interesse beanspruchen kann. Die RiEMANNSche Geometrie ist dadurch charakterisiert, daß die infini- tesimale Umgebung jedes Punktes P eine euklidische Metrik aufweist, sowie dadurch, daß die Beträge zweier Linienelemente, welche den infinitesimalen Umgebungen zweier endlich voneinander entfernter Punkte P und Q angehören, miteinander vergleichbar sind. Dagegen fehlt der Begriff der Parallelität solcher zwei Linienelemente der Richtungsbegriff existiert nicht für das End- liche. Die im folgenden dargelegte Theorie ist dadurch charakterisiert, daß sie neben der RiEMAUNSclien Metrik den der »Richtung« bzw. Richtungsgleich- heit oder des »Parallelismus« für das Endliche einführt. Dem entspricht es, daß neben den Invarianten imd 'Tensoren der RIEMANNSchen Geometrie neue Invarianten und Tensoren auftreten. [2] § 1. 𝒏???-Bein-Feld und Metrik. Wir denken uns in dem beliebigen Punkte P des 𝒏???-dimensionalen Kon- tinuums ein orthogonales 𝒏???-Bein aus 𝒏??? Einheitsvektoren errichtet, welches ein lokales Koordinatensystem repräsentiert. Aa seien die Komponenten eines Linienelementes oder eines sonstigen Vektors, bezogen auf dies lokale System (𝒏???-Bein). Für die Beschreibung eines endlichen Bereiches sei außerdem das GAusssche Koordinatensystem der x’ eingeführt. A’ seien die 𝒗???-Komponenten des Vektors (A), bezogen auf letzteres, ferner 𝒉???a' die 𝒗???-Ivomponenten der das 𝒏???-Bein bildenden Einheitsvektoren, dann ist1 ( I ) 1 W ir bezeichnen die Koordinaten-Indizes mit griechischen, die Bein-Indizes mit latei- nischen Buchstaben. 18* [3]