D O C . 3 1 3 C U R R E N T S T A T E OF F I E L D T H E O R Y 473 Feld-Theorie Schwäche wurde von Anfang an darin erkannt, dass ihr Fundament der Elementar- tatsache der Metrik nicht gerecht wird, dass das Verhalten von Maßstäben bzw. Uhren von deren Vorgeschichte unabhängig ist. Rein formal lässt sich die Grundlage dieser Theorie so charakterisieren. Zieht man von einem Punkte P des Kontinuums aus zwei Linienelemente (oder elementare Vektoren) P P' bzw. P P" mit den Koordinaten (d' x1, d' x2, d' x2, d' x4) bzw. [d"xl, ........ d"x4), so soll deren Zahlenverhältnis eine objektive Bedeutung haben, welches sich aus der in (2) angegebenen quadratischen Form berechnen lässt. Durch diese bis auf einen Faktor λ definierte quadratische Form sind auch die Richtungsbeziehungen (Winkel) zwischen zwei Vektoren gegeben, welche in dem- selben Punkte P ansetzen. Dagegen wird dem Verhältnis zweier Linienelemente bzw. Vektoren, welche in zwei getrennten Punkten des Kontinuums angreifen, keinerlei reale Bedeutung zugeschrieben, also weder dem Grössen- noch dem Rich- tungsverhältnis. Es ist erstaunlich, dass sich für ein Kontinuum, das so arm an Struktureigenschaften ist, eine Invariantentheorie von solchem Formenreichtum aufstellen lässt, dass diese für die Darstellung der physikalischen Eigenschaften des Raumes überhaupt in Betracht gezogen werden konnte. Das nächst beziehungsreichere metrische Kontinuum ist das Riemannsche. Im Riemannschen Kontinuum wird nicht nur dem Grössenverhältnis zweier Vektoren, die von demselben Punkte P ausgehen, sondern auch dem Grössenverhältnis zweier Vektoren, die von endlich voneinander entfernten Punkten P und P' ausgehen, Realität zugeschrieben. Dies kommt mathematisch darauf hinaus, dass die Grösse für jedes Linienelement (bis auf einen belanglosen, von den xv unabhängigen Faktor) einen bestimmten Wert hat. Dass die Mathematiker dies so strukturierte Konti- nuum zuerst ins Auge gefasst haben, ist historisch begreiflich. Jede in einen drei- dimensionalen euklidischen Raum eingebettete Fläche ist ein Riemannsches Kon- tinuum von zwei Dimensionen. Es wurde von Gauss bekanntlich die Flächentheorie nach diesem Gesichtspunkte behandelt hierauf verallgemeinerte Riemann das Gebilde, indem er erkannte, dass dessen Einbettung in einen euklidischen Raum unwesentlich sei, und dass sich die wesentlichen Überlegungen der Theorie für beliebig viele Dimensionen durchführen liessen. Es ist wohlbekannt, dass bereits Riemann den Gedanken hatte, dass das Kontinuum unserer räumlichen Erfahrungs- welt eine derartige metrische Struktur haben könnte. Die Gravitationsgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie sind die ein- fachsten koordinaten-invarianten Differenzialgleichungen, denen die guv eines Riemannschen Kontinuums unterworfen werden können, wobei die guv selbst (bzw. die Grösse ds) die metrischen Beziehungen in dem zeit-räumlichen Kontinuum, 9 Stodola [8] [9] (3) 129