D O C . 3 1 3 C U R R E N T S T A T E OF F I E L D T H E O R Y 475 Feld -Theorie so dass die Koeffizienten guv der Riemann-Metrik sich aus den h ausdrücken durch (7) Die h sind in dieser Theorie die elementaren Feldvariablen, durch welche sich die g der Metrik ausdrücken lassen. Nun wollen wir die Existenz des Fern-Parallelismus ausdrücken. In einem Punkte P 0 können wir die Orientierung des lokalen orthogonalen n-Beins frei wählen. Dann ist sie aber für alle anderen Punkte des Kontinuums eindeutig bestimmt durch die Festsetzung, dass alle entsprechenden Beine aller lokalen n-Beine einander parallel sein sollen. Parallele Vektoren haben dann einfach gleiche Lokal-Kompo- nenten. Für die Parallelverschiebung eines Vektors A von einem Punkte P nach einem unendlich benachbarten P' gibt also die Formel oder nach (5), (8) und (6) Setzt man also ( 8) [14] [15] (9) so lautet das Gesetz der Parallelverschiebung Diese Grössen ∆ sind in gewissem Sinne den Christoffelschen Symbolen Ivvr der Riemannschen Geometrie analog, indem sie die Koeffizienten eines Parallelver- schiebungssatzes sind. Aber gerade in diesen Grössen zeigt sich auch der Gegensatz beider Strukturen. Die Riemannschen I sind in den unteren Indizes symmetrisch, aber die durch sie ausgedrückte Verschiebung ist nicht integrabel. Dagegen sind die ∆ nicht symmetrisch, aber die durch sie ausgedrückte Verschiebung ist integrabel. Die Grössen ∆ haben nicht Tensorcharakter, wohl aber die aus ihnen gebildeten antisymmetrischen Grössen ( 10) ( 11) [16] Durch Verjüngung folgte aus diesem Tensor der Vektor φa = Λ“oa welcher bei der physikalischen Anwendung der Theorie die Rolle der elektromagnetischen Poten- tiale spielt. Die Existenz eines Tensors Λvoi bringt es mit sich, dass Invarianten existieren, welche aus den h und ihren ersten Differenzialquotienten gebildet sind. Man kann die einfachsten Gesetze, denen ein solches Kontinuum unterworfen werden kann, auf folgende Weise finden. Man bildet eine lineare Kombination [17] 131 9 *