DOC. 13
GENERALIZED THEORY OF RELATIVITY
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6 Das
allgemeine
Schwerefeld
Bei
gegebener Geschwindigkeit
sind
also
Impuls
und kinetische
Energie
der
Größe
c umgekehrt proportional;
anders
ausgedrückt:
Die
träge Masse, so
wie sie
in
Impuls
und
Energie eingeht,
ist
m/c,
wobei
m
eine
für
den
Massenpunkt charakteristische, vom Gravitationspotential
unabhängige
Konstante bedeutet. Es
paßt
dies
zu
Machs
kühnem
Ge-
danken,
daß die
Trägheit
in einer
Wechselwirkung
des
betrachteten
Massenpunktes
mit allen
übrigen
ihren
Ursprung habe;
denn häufen
wir
Massen in der Nähe
des
betrachteten
Massenpunktes an,
so ver-
kleinern wir damit
das
Gravitationspotential
c,
erhöhen
also die
für
die
Trägheit maßgebende
Größe
m/c.
[10]
§
2. Gleichungen
für
die
Bewegung
des
materiellen Punktes
im
beliebigen
Schwerefeld.
Charakterisierung des
letzteren.
Mit der
Einführung
einer
räumlichen Veränderlichkeit der
Größe
c
haben wir
den
Rahmen der
gegenwärtig
als
"Relativitätstheorie"
be-
zeichneten Theorie
durchbrochen;
denn
es
verhält sich
nun
der mit
ds
bezeichnete Ausdruck
orthogo
nalenlinearen Transformationen der
Koor-
dinaten
gegenüber
nicht mehr
als
Invariante. Soll
also
-
woran
nicht
zu
zweifeln
ist
-
das
Relativitätsprinzip
aufrecht erhalten
werden,
so
müssen wir die Relativitätstheorie
derart
verallgemeinern,
daß sie die
im
vorigen
in ihren Elementen
angedeutete
Theorie
des
statischen
Schwerefeldes
als
Spezialfall
enthält.
Führen wir ein
neues
Raum-Zeitsystem K'(x',y',z',t')
ein durch
irgend
eine
Substitution
x'=x'(x,y,z,t)
y'=y'(x,y,z,t)
z'=z'(x,y,z,t)
t'=t'(x,y,z,t),
und
war
das
Schwerefeld
im
ursprünglichen System
K
ein
statisches,
so
geht
bei dieser Substitution
die
Gleichung (1)
in
eine
Gleichung von
der Form
d{
Cds'\
=
0
über,
wobei
ds'2
=
g11dx'2
+
g22dy'2
+
...
+
2g12dx'
dy' +
...
gesetzt ist,
und
die Größen
guv
Funktionen
von x',
y', z',
t'
sind.
Setzen
wir
x1, x2, x3,
x4
statt
x',
y', z',
t' und schreiben
wir wieder ds statt
ds',
[11]
so
erhalten
die
Bewegungsgleichungen
des
materiellen
Punktes in
bezug
auf
K'
die
Gestalt
. d
{
fds]
=
0,
wobei
ds2
=
gur
dx^ dxv.
,/
V
(1")