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DOC. 24 RESPONSE TO QUESTION BY REISSNER
Physik.
Zeitschr.
XV,
1914.
Einstein,
Antwort
an
Herrn Reißner.
109
[7]
System
E, dessen
energetische Komponenten
zum
Teil
zu
dem Gravitationsfelde
gehören,
das
die Teile
von
E
erzeugen.
Die
Gleichungen
des Gravitationsfeldes
(7b) lauten,
wenn
d
Y/i v
2"
S
7aß gau
ÜX.3
Ga
7
v
ßt*
gesetzt
wird:
v
ö
Gua
r
Ö
Xa
X
(^T
V
H-
U
»•)
•
a
Die Größen Guov können hierbei
in gewissem
Sinne
als
die
Komponenten
der Feldstärke der
Gravitation
bezeichnet
werden. Da
alle zeit-
lichen
Ableitungen in
unserem
Falle verschwin-
den
sollen, folgt
hieraus durch
Integration
über
das Innere
einer
geschlossenen
Fläche
folgen-
des
System
von
dem
Gaußschen
Satze
ent-
sprechenden Gleichungen
f(Gl
acos
(n
x)
-f- G2 acos
(w
y)
+
+
G3,Tr
cos
(112))
do
=
x
f(XaH-
Uv)dV,
.
wobei
n
die
Richtung
der auf dem Flächen-
element do nach außen
gezogenen
Normalen
und
dV
das Raumelement bedeutet. Wählt
man
als Grenze des
Integrationsraumes
eine das
System
E nebst seinem Gravitationsfelde
um-
schließende
Fläche,
so
daß
sie bis
auf
Ver-
nachlässigbares
die
ganze Gravitationsenergie
des
Feldes
einschließt,
so
sieht
man,
daß die
An-
zahl der eine unendlich ferne Fläche durch-
setzenden
"Kraftlinien
der
Gravitation"
nur
von
dem
Integral
auf der rechten Seite der
be-
treffenden
Gleichung abhängt. In
dem
uns
in-
teressierenden Falle
ist
übrigens,
wie
sich
aus
den
Impulssätzen
dartun
läßt,
bei
passender
Wahl des
Bezugssystems
die rechte Seite
nur
im Falle
0
=
v
=
4 von
Null verschieden.
Aus dem
Gesagten folgt,
daß die Stärke
des
Gravitationsfeldes
in
großer
Entfernung
von
E außer
von
der
Entfernung
nur
von
,/'(^44
+
*44)
d. h.
nur
von
der
Gesamtenergie
von
E
(Energie
der Materie +
Gravitationsenergie) abhängt1).
Entsprechendes
gilt
auch
von
der
pondero-
motorischen
Wirkung,
welche das durch
E
er-
zeugte
Gravitationsfeld auf
einen
in
genügender
Entfernung
von
E
befindlichen
Massenpunkt
P
ausübt.
Ein solcher materieller
Punkt
P
wirkt aber
auf
E
zurück,
und
zwar
wegen (9b)
derart,
daß
1)
Dabei ist allerdings Radialsymmetrie
des
Feldes
im
Unendlichen
stillschweigend
vorausgesetzt.
Diese
läßt
sich
erzielen,
wenn man
das
Bezugssystem
so
wählt,
daß
im
Unendlichen das
Prinzip
von
der
Konstanz
der
Licht-
geschwindigkeit gewahrt
ist (berechtigtes
Bezugssystem
im
Sinne
der ursprünglichen
Relativitätstheorie).
die Gleichheit
von
Wirkung
und
Gegenwirkung
gewahrt
bleibt. Die
von
P
auf E durch
Gra-
vitation
ausgeübte gesamte Kraftwirkung hängt
also
außer
von
der relativen
Lage
von
E und
P
und
von
der Masse
von
P
nur von
der
Ge-
samtenergie
von
E ab. Damit
ist der
verlangte
Nachweis
geführt.
In den
Grundlagen
der
Theorie ist
übrigens
nicht
nur
die
Forderung enthalten,
daß die
schwere Masse eines
abgeschlossenen
stati-
schen
Systems
nur
durch die
Gesamtenergie
bestimmt
sei,
derart, daß das Gravitationsfeld
in analoger
Weise
zur
Gesamtmasse
beiträgt
wie
die Materie. Es muß vielmehr
Entsprechen-
des auch für
die
träge
Masse des
Systems
gelten.
Daß dies merklich der Fall
ist,
ergibt
sich
in folgender
Weise.
Zunächst bemerken
wir,
daß
-
.
-
(X*,. -f-
Y-g
tov)
bezüglich
linearer Transformationen ein
ge-
mischter Tensor ist
(bezüglich
des Index
o
ko-
variant, bezüglich
des
Index
v
kontravariant).
Es
sei
nun Uov
ein
beliebiger gemischter
Tensor solcher
Art.
Dann ist
\ av
ein
ko-
varianter
Vektor, oder,
was
dasselbe
ist
JL-I CXr
r
1
\ldWavY-
g
"Ö
Xy
^
C
Xy
Nun ändert sich aber
Y-g
bei Vornahme
einer linearen Transformation
nur um
einen kon-
stanten
Faktor. Daher
ist
clg/-gdx1.
ein ko-
varianter
Vierervektor,
und ebenso das
zweite
Glied des
obigen
Ausdruckes. Daraus
folgt,
daß auch die vier Größen
1
g
Q
?i
r."
v-s
,
einen kovarianten Vierervektor
bilden.
Andererseits ist das Produkt des vierdimen-
sionalen Raumelementes
dt
mit
/-g
ein
Skalar. Hieraus
folgt,
daß
auch
dz^Ö
9!
crY-g
dxr
ebenfalls
ein
kovarianter Vektor
ist.
Gleiches
gilt
auch
von
dem
Integral
dieser Größe über
einen
beliebigen
vierdimensionalen Raumteil.
Wir
setzen
nun
über die
Uav
folgendes
voraus:
1.
Alle
Uav mögen
für
(positiv
und
negativ)
unendlich
große
x1,
x2, x3
verschwinden.
[8]