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FOUNDATION
OF
GENERAL
RELATIVITY
Die
Grundlage
der
allgemeinen
Relativitätstheorie.
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transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als
kontravarianten
Vierervektor. Aus
(5a) folgt sogleich,
daß
die Summen
(A"
±
B")
ebenfalls
Komponenten
eines Vierervektors
sind,
wenn
Ao
und
Bo
es
sind.
Entsprechendes
gilt
für
alle
später
als
"Tensoren"
einzuführenden
Systeme (Regel von
der Addition und Sub-
traktion
der
Tensoren).
Kovarianter
Vierervektor.
Vier Größen
Av
nennen
wir die
Komponenten
eines
kovarianten
Vierervektors,
wenn
für
jede
beliebige
Wahl des
kontravarianten
Vierervektors
Bv
(6)
EAvBv
=
Invariante.
Aus
dieser
Definition
folgt
das
Transformationsgesetz
des
kovarianten
Vierervektors.
Ersetzt
man
nämlich auf
der
rechten Seite
der
Gleichung
C
Bv
durch
den
aus
der
Umkehrung
der
Gleichung (5a) folgenden
Ausdruck
so
erhält
man
OX,
B°'
8x~'
B"
Hieraus
folgt
aber,
weil
in
dieser
Gleichung
die B°'
unabhängig
voneinander frei wählbar
sind,
das
Transformationsgesetz
(7)
A'a = E
dxv/dxa
Av.
Bemerkung
zur
Vereinfachung
der
Schreibweise
der Ausdrücke.
Ein
Blick
auf die
Gleichungen
dieses
Paragraphen zeigt,
daß über
Indizes,
die zweimal
unter
einem Summenzeichen
auftreten
[z.
B. der
Index
v
in
(5)],
stets
summiert
wird,
und
zwar nur
über
zweimal
auftretende
Indizes. Es
ist
des-
halb
möglich,
ohne die
Klarheit
zu
beeinträchtigen,
die
Summenzeichen
wegzulassen.
Dafür führen wir die Vorschrift
ein:
Tritt
ein
Index in
einem Term eines
Ausdruckes zweimal
auf,
so
ist
über
ihn
stets
zu
summieren,
wenn
nicht ausdrück-
[12]
lich das
Gegenteil
bemerkt
ist.
Der Unterschied zwischen
dem
kovarianten und kontra-
varianten Vierervektor
liegt
in
dem
Transformationsgesetz