DOC.
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FOUNDATION OF GENERAL RELATIVITY
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A. Einstein.
haben wir
zu überlegen,
wie derartige
allgemein
kovariante
Gleichungen gewonnen
werden können.
Dieser
rein
mathe-
matischen
Aufgabe
wenden
wir
uns
jetzt
zu;
es
wird sich
dabei
zeigen,
daß
bei
deren
Lösung
die
in
Gleichung
(3)
an-
gegebene
Invariante
ds
eine fundamentale Rolle
spielt, welche
wir in
Anlehnung
an
die
Gausssche
Flächentheorie als
"Linien-
element"
bezeichnet
haben.
Der
Grundgedanke
dieser
allgemeinen
Kovariantentheorie
ist
folgender.
Es seien
gewisse Dinge ("Tensoren")
mit
Bezug
auf
jedes Koordinatensystem
definiert
durch eine
Anzahl
Raumfunktionen, welche
die "Komponenten"
des Tensors
genannt
werden. Es
gibt
dann
gewisse Regeln,
nach welchen
diese
Komponenten
für ein
neues
Koordinatensystem
be-
rechnet
werden,
wenn
sie
für das
ursprüngliche System
be-
kannt
sind,
und
wenn
die beide
Systeme verknüpfende
Trans-
formation
bekannt ist.
Die
nachher
als
Tensoren bezeichneten
Dinge
sind ferner
dadurch
gekennzeichnet,
daß die Trans-
formationsgleichungen
für ihre
Komponenten
linear und homo-
gen
sind.
Demnach
verschwinden sämtliche
Komponenten
im
neuen
System,
wenn
sie
im
ursprünglichen System
sämtlich
verschwinden. Wird also ein
Naturgesetz
durch
das
Null-
setzen aller
Komponenten
eines Tensors
formuliert,
so
ist
es
allgemein
kovariant;
indem wir die
Bildungsgesetze
der Ten-
soren
untersuchen,
erlangen
wir die
Mittel
zur
Aufstellung
all-
gemein
kovarianter
Gesetze.
§ 5.
Kontravariänter
und kovarianter
Vierervektor.
Kontravarianter
Vierervektor.
Das
Linienelement ist defi-
niert
durch
die vier
"Komponenten"
dx9,
deren Trans-
formationsgesetz
durch die
Gleichung
(5)
i
=
2^äx-
V
ausgedrückt
wird.
Die
dxa'
drücken sich linear und
homogen
durch die
dxp
aus;
wir können diese Koordinatendifferentiale
dx4
daher
als die
Komponenten
eines
"Tensors" ansehen,
den
wir-speziell
als
kontravarianten
Vierervektor bezeichnen. Jedes
Ding,
was
bezüglich
des
Koordinatensystems
durch vier
Größen Ar
definiert ist,
die sich nach demselben Gesetz
(5a)
A"
=
2
JT,
A~